WisFaq!

Licht deze differentievergelijking toe

In een tank wordt afvalwater biologisch gezuiverd. Op 1 juni om 18:00 is 20 kg verontreiniging in de tank aanwezig. Dagelijks wordt 27% van de verontreiniging afgebroken. Verder wordt elke dag om 18:00 12 kg verontreiniging aangevoerd. De hoeveelheid verontreiniging in de tank n dagen na 1 juni is An.

A. Stel de differentievergelijking op (ik snap hoe je dat moet doen)
B. Geef de formule van An (Snap ik ook)

Maar dan snap ik C niet

In plaats van elke dag om 18:00 12 kg verontreinging aan te voeren, voert men elk uur 0,5 kg verontreiniging aan. Hierbij hoort de differentievergelijking: At=0.98At-1 +0.5 met A0=20 en t in uren.
C. Licht deze differentievergelijking toe... Ik begrijp die differentievergelijking niet!!

Claudia Grannetia
12-3-2008

Antwoord

Dag Claudia,

De opstelling van die nieuwe differentievergelijking volgt nochtans dezelfde regels als de oude uit vraag A.

Voor de nieuwe differentievergelijking gebruik je nu t in plaats van n, waarbij t=1 de situatie voorstelt om 19u, t=2 is 20u, enzovoort.

Het moeilijkste in de nieuwe vraag is om na te gaan hoeveel procent er per uur wordt afgebroken. Dat is niet zo eenvoudig: als je zou denken, 24 uur per dag, 27% afbraak per dag, dus 27/24 % afbraak per uur, maak je een fout. Stel dat je start met 1 kg verontreiniging, en dat je een fractie x overhoudt na 1 uur (dus 1-x wordt afgebroken). Na een uur heb je dus x kg. Nog een uur later hou je nog x² kg over, na drie uur x³ kg,... na 24 uur hou je x²⁴ kg over, er is gegeven dat er op een dag 27% wordt afgebroken, anders gezegd dat je 0,73 kg overhoudt na 24 uur. Dus x²⁴=0,73, dus x=O,73^1/24=0,98697.

Zo bekomen we dat elk uur 1,303 % wordt afgebroken. Om je differentievergelijking op te stellen ga je nu te werk als in A: in A hield je na één tijdsstap (dat was daar 1 dag) 0,73 over en er werd 12 kg toegevoegd, waardoor je kwam aan
A_n = 0,73 A_n-1 + 12 met n het aantal dagen na het begin.

Nu, in vraag C, hou je na 1 tijdsstap (dat is nu 1 uur) 0,98697 over en wordt er 0,5 kg toegevoegd, waardoor je komt aan
A_t = 0,98697 A_t-1 + 0,5 met t het aantal uren na het begin.

Als je verder zou werken met deze vergelijking zou ik je wel aanraden om in plaats van die 0,98 te werken met die 0,98697, anders ga je snel vrij grote fouten opstapelen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
12-3-2008