WisFaq!

Differentiaalvergelijking homogeen

Ik snap nog steeds niet waarom je bij een homogene differentiaalvergelijking de 2 oplossingen bij elkaar mag optellen bij de vorm: ax''+bx'+cx. kan iemand mij dit uitleggen??
bij voorbaat bedankt Pieter

Pieter
7-3-2008

Antwoord

Je hebt de homogene differentiaalvergelijk ax''+bx'+cx=0.

Stel nu dat je de functies y en z hebt, die hieraan voldoen. Als je deze optelt, x=py+qz, (met p en q willekeurige getallen) en invult, krijg je
a(py+qz)''+b(py+qz)'+c(py+qz)
=a(py''+qz'')+b(py'+q')+c(py+qz)
=p(ay''+by'+cy)+q(az''+bz'+cz)
En, omdat y en z aan de differentiaalvergelijking voldoen:
=p 0 + q 0 =0
En dus voldoet de functie x=py+qz ook aan de differentiaalvergelijking en dus een geldige oplossing.

Bernhard
8-3-2008