WisFaq!

Differentiaalverg bij een slinger

Hallo
Ik ben bezig met het oplossen van een differentiaalvergelijking. Maar ik kom er niet uit. Het gaat over een mathematische slinger. Nu moet ik er een demping op loslaten.
Ik heb nu d²q/dt²=-g/lq-g/m´(qL)'
kan iemand mij helpen?
groeten
Joopie

Joopie
21-2-2008

Antwoord

Laat ik je een klein stukje op weg helpen:
In je DV staat ondermeer (qL)', maar omdat L is constant, is dit
L.q' ofwel L.dq/dt .
Je DV kunnen we dus schrijven als:
d²q/dt² + (gL/m).dq/dt + (g/L)q = 0
ofwel
q"+ a.q' + b.q = 0

Omdat je weet dat er een gedempte harmonische trilling uit moet komen, weet je dat de oplossing is van de vorm
q(t) = A.e^-at.cos(wt)
waarbij w nu een **andere** w blijkt te zijn dan die in het ongedempte geval.
We substitueren deze oplossing in de DV.
q(t) = A.e^-at.cos(wt)
q'(t) = -aA.e^-at.cos(wt) - wA.e^-at.sin(wt)
q"(t) = a²A.e^-at.cos(wt) + awA.e^-at.sin(wt) + waA.e^-atsin(wt) - w²A.e^-at.cos(wt)

Vullen we deze in in de DV, en halen we dan e^-at buiten haakjes, dan blijkt:
Ae^-at[(a²-w²-aa+b).cos(wt) + (2wa - aw)sin(wt)]=0

Dit moet gelden op ELK tijdstip t. dus:
a²-w²-aa+b = 0 , en tegelijkertijd:
2wa - aw = 0
(de factor Ae^-at kan nooit nul worden)

uit de 2e vgl volgt: a=a/2
en als je dit invult in de 1e vgl, volgt:
w=Ö(b-a²/4)

Dus als de demping (zit in de factor a verstopt) niet te groot is, wordt de functie van de gedempte harmonische slinger gegeven door

q(t) = A.e^(-a/2)t.cos(wt)
met w=Ö(b-a²/4)

groeten,

martijn

mg
22-2-2008