WisFaq!

Afstandsbepaling op de aardbol

Hallo,
Ik moet voor een onderzoeksopdracht afstanden kunnen bepalen tussen verschillende plaatsen op de aarde via de boldriehoeksmeetkunde (begrippen en regels hiervan heb ik al onder de knie)

De eerste opdracht is het bepalen van de afstand tussen twee plaatsen met dezelfde lengteligging:

Santiage en Boston met respectievelijk breedtegraden van 33°ZB en 42° NB. Is het juist om de afstand tussen deze twee plaatsen in graden te bepalen deze gewoon op te tellen. Ze bevinden zich immers op éénzelfde grootcirkel. Om dan naar kilometer over te gaan gebruikte ik volgende redenering:

1.1 De steden Santiago en Boston hebben dezelfde lengteligging, nl. 71°WL. De afstand tussen Santiago en Boston in graden is gelijk aan 33°+ 42° = 75°.

1.2 Om de afstand tussen Santiago en Boston in kilometer te weten, moeten we de verhouding bepalen tussen de booglengte en de cirkelomtrek. Aangezien we de graden van de cirkelboog kennen, kunnen we deze verhouding gemakkelijk berekenen. Het aantal graden van een cirkelboog geeft immers weer welke fractie van de cirkelomtrek door de boog wordt ingenomen, in eenheden van 1/360-ste van de cirkelomtrek. Voor een boog met hoekmaat op een cirkel met straal R vinden we zo een booglengte:

l= omtrek· a/360°=2 pi R · a/360°
dus l=2·pi·6378·75/360=8349

Klopt deze redenering of zit ik er volledig naast?

Bij een tweede opdracht moet ik de afstand tussen twee stedne op dezelfde breedtegraad berekenen Tokio en Gibraltar liggen allebei op 36°NB. Er staat als hint bij dat je eerste de straal moet bepalen van de overeenkomstige breedtecirkel. Dit is echter een kleincirkel. Korste afstand tussen twee punen is toch telkens een grootcirkel met als straal de (gemiddelde straal van de aardbol? Ik raak er niet aan uit. Als je het toch via een kleincirkel moet doen, hoe kom je dan aan die straal? Hopelijk kunnen jullie me helpen want ik zit eventjes vast...

groetjes

Astrid Ghyselen
7-2-2008

Antwoord

Hoi Astrid,

Leuke opdracht. Opdracht 1 is helemaal goed. Een lengtecirkel is een grootcirkel. Dus kun je het verschil in breedtegraad gebruiken om de hoek op de grootcirkel te vinden en zo de afstand te berekeken.

Over opdracht 2 heb je ook gelijk. Een breedegraad is géén grootcirkel. Dus moet je ook niet de afstand langs die cirkel brekeken. De tip suggereert dat wel. En als dat zo is, is de opgave fout.

Je hebt dus de hoek nodig over de grootcirkel die door de punten loopt. Daar zijn korte formules voor, maar je kunt het zelf met driehoeken oplossen. Ik heb hieronder een plaatje getekend:



Op het plaatje zie je de breedtegraad (met middelpunt M) en de de evenaar (met middelpunt C. dit is het middelpunt van de aarde). Op de breedtegraad liggen de twee gewenste punten A en B. Hoek CAM is de breedtegraad en hoek AMB is het verschil tussen de lengtegraden. Met het eerste bereken je de straal MA van de breedtegraad. Met het tweede bereken je de rechtstreekse afstand tussen A en B (dus niet over het oppervlak maar dwars door de aarde.)

Ten slotte bereken je dan de hoek ACB. Dat is de gewenste hoek over de grootcirkel.

Succes! Laat je weten of het lukt? Groet. Oscar

Zie ook:

• http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter2.htm
• Hoever is het van ... naar ...?

os
7-2-2008