WisFaq!

Verzameling punten in een rechthoek

Een rechthoek verbindt de punten A,B, C en D in een vlak.
lokatie en rotatie willekeurig.
(Rechthoek wil zeggen: 4 haakse hoeken)
Aan welke voorwaarden (formule) moeten de X- en Y-coordinaten van de punten die binnen de rechthoek vallen voldoen?
Een algemene formule voor elke rechthoek graag, uitgedrukt in
x- en y- variabelen van A, B, C en D.

erwin staring
1-2-2008

Antwoord

Om het jezelf niet moeilijk te maken, kies je je punt A in de oorsprong. Je krijgt dan dus A=(0,0). De translatie kan je achteraf nog uitvoeren, door bij elke coördinaat dezelfde constante op te tellen. Zie de onderstaande figuur.



De zijde AB heeft lengte b, de zijde AC lengte c, en de hoek die AB met de y-as maakt noemen we a. De hoek die de zijde AC met de x-as maakt, is ook a. (Waarom?)

De coördinaat B volgt nu uit de regels voor cosinus en sinus. Er volgt uit de figuur direct B=(b·sin(a),b·cos(a).
Op dezelfde manier volgt voor C=(c·cos(a),c·sin(a)).

De truc is nu om de coördinaat van D te vinden, en dat kan door vectoroptelling van B en C, dus D=(b·sin(a)+ c·cos(a),b·cos(a)+c·sin(a)).

Stel dat je punt A zich in (x₀,y₀), dan moet je de hele rechthoek verschuiven, en dus x₀ en y₀ bij elke x- respectievelijk y-coördinaat optellen. In dat geval heb je dus 5 variabelen te kiezen. Twee voor de afmetingen, b en c, een voor de rotatie, a, en dus twee voor de rotatie.

De vraag is, had je a priori kunnen zeggen dat je er 5 nodig zou hebben?

Bernhard
2-2-2008