WisFaq!

Lineaire diff vgl

sorry dat ik nu nog ee vraag stuur, maar ik zit nu bij de moeilijkste opdrachten, al de rest is al gemaakt.. en ik wil alles hebben gedaan voor mijn examen van morgen, zodat ik geen spijt kan hebben achteraf

ik heb nu de opdracht
dy/dx - x²y + x⁵ = 0
heb ik de x⁵ naar de andere kant gehaald en dan homogeen gemaakt

en dan levert verder op
y=c(x)e^(1/3x^3)
y´= c´(x)e^(1/3x^3) + x²c(x)e^(1/3x^3)

dit weer invullen in de formule geeft heel mooi
c´(x)e^(1/3x^3) + x²c(x)e^(1/3x^3) - x²c(x)e^(1/3x^3) = x⁵
dus c´(x)e^(1/3x^3) = x⁵

het is mooi te schrappen dus tot dusver zou het moeten kloppen
maar dan

òc´(x) = òx⁵/e^(1/3x^3)

hoe los je dat laatste op??

Lien
20-1-2008

Antwoord

Nog eens dag Lien :-)
Je uitwerking is inderdaad correct (behalve dat het -x^5 moet zijn in het rechterlid)

De integraal kan je het makkelijkst oplossen door t=-x³/3 te stellen: dan dt=x²dx en je krijgt
òx⁵e^-x3/3dx=ò3te^tdt.
Dat laatste kan je dan weer oplossen met partiële integratie:
met u=3t en dv=e^tdt dus v=e^t wordt dit
= 3te^t-òe^t3dt + K
= 3te^t-3e^t + K
= 3e^t(t-1) + K
= 3e^-x3/3(-x³/3-1) + K

en dus y(x)=c(x)e^x3/3 = (-x³-3) + Ke^x3/3
en als je zo een oefening op het examen krijgt dan leid je dit resultaat natuurlijk nog eens opnieuw af (zo krijg je dy/dx), je vervangt in de opgave y en dy/dx door de resultaten die je net uitkomt, en je kijkt of de opgegeven gelijkheid inderdaad klopt...

Succes morgen!
Christophe.

Christophe
20-1-2008