WisFaq!

Rationale functie

Bij de volgende vraag begrijp ik het antwoord in mijn boek niet, want als je kijkt naar de opgave, zou je antwoord uit delen moeten bestaan (door partiele breuken). En het antwoord in mijn boek geeft `grappig´ genoeg slechts alleen de eerste 3 delen (komen perfect overeen met mijn gevonden gegevens)... alleen begrijp ik dus niet waarom het antwoord daar moet stoppen.

hier komt de opdracht met mijn uitwerking:

ò((x⁵-x⁴+x³-4x²-2x-4)/(x²+2)³ dx

ò(Ax+B)/(x²+2) dx + ò(CX+D)/(x²+2)² dx + ò(Ex+F)/(x²+2)³ dx

geeft: Ax⁵+4Ax³+4Ax+Bx⁴+4Bx²+4B+Cx³+2C+Dx²+2D+Ex+F

A=1
B=-1
4A+C=1 -- C=-3
4B+D=-4 -- D=-8
4A+E=-2 -- E=-6
4B+2C+2D+F=-4 -- F=14

dit invullen geeft:

ò(x-1)/(x²+2) dx + ò(-3X-8)/(x²+2)² dx + ò(-6x+14)/(x²+2)³ dx

ò(x)/(x²+2) dx - ò(1)/(x²+2) dx -3ò(x)/(x²+2)² dx -8ò(x²+2)^-2 dx -6ò(x)/(x²+2)³ dx + 14ò(x²+2)^-3 dx

met steeds t=(x²-2) dus 1/2dt=dx

geeft:

1/2ln|x²+2| - 1/Ö(2)bgtgx/Ö(2) + 3/(2(x²+2)) + 16x/(x²+2) + 3/(2(x²+2)²) + 28x/((x²+2)²)


waarom moet volgens mijn boek het antwoord zijn:

1/2ln|x²+2| - 1/Ö(2)bgtgx/Ö(2) + 3/(2(x²+2)) ???? zonder het tweede deel van mijn antowoord??

bedankt!

Lien
19-1-2008

Antwoord

Dag Lien,
Als ik de integraal uitreken met computerprogramma Maple, blijkt het antwoord uit je boek te kloppen. Als ik jouw integraal na splitsen in partieelbreuken uitreken, krijg ik echter nog een andere oplossing, dus er is voor het splitsen en erna een fout gebeurd.

Die voor het splitsen is de term 2C: dat moet 2Cx zijn. Bovendien volgt uit B=-1 en 4B+D=-4 dat D=0, niet D=-8. De correcte oplossingen voor je coëfficiënten zijn dan A=1, B=-1, C=-3, D=E=F=0. (Tip: het is heel makkelijk fouten te maken bij het oplossen van zulke stelsels, daarom is het best je oplossingen voor de coëfficiënten opnieuw in het stelsel in te vullen en te kijken of het klopt!) Je hebt dus geen bijdrage van (x^2+2)^3, wat het gevolg is van het feit dat je in de opgave eigenlijk een factor (x^2+2) kan wegdelen. Maar dat kan je natuurlijk moeilijk op het zicht zien.

Dit geeft meteen aan waarom je enkel de eerste drie termen uit jouw antwoord nodig had.

En dan is er na dat splitsen nog iets foutgelopen: je hebt de integralen van 8dx/(x^2+2)^2 en 14dx/(x^2+2)^3 verkeerd opgelost. Deze integralen zijn van de algemene vorm
òdx/(x²+ax+b)ⁿ
waarbij de kwadratische uitdrukking niet te ontbinden is in twee lineaire (dus een negatieve discriminant heeft), en n1 is. Hier helpt je substitutie t=x²+ax+b niet omdat dt=2xdx (je schreef dt=2dx, ik hoop dat dat een typfoutje was...). En aangezien er niet xdx in de teller staat, maar enkel dx, ben je daar dus niets mee.

Deze integralen worden opgelost met een iteratieformule. Als je deze niet gezien hebt moet je je daar geen zorgen over maken, die is te ingewikkeld om zelf zomaar op te stellen. En aangezien er in jouw oefening mooi voor wordt gezorgd dat de coëfficiënten D en F nul zijn, vermoed ik dat je dat dus niet gezien hebt...

Christophe
20-1-2008