Hallo,
Hoe moet ik $\omega$ berekenen uit de volgende vergelijking:
-180graden = -arctan(10$\omega$) - 2 arctan($\omega$)
Graham Newton
18-1-2008
We lossen deze vergelijking op dor er de tangens van te nemen. De tangens van -180° = 0 en verder geldt
tan(-arctan(10$\omega$)-2arctan($\omega$)) = -tan(arctan(10$\omega$)+2arctan($\omega$))
Nu weten we dat tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)·tan(b)) en dus tan(2a) = 2tan(a)/(1-tan2(a))
Passen we dit toe op onze vergelijking, dan geldt er dat
-tan(a+2b) = -(tan(a)+tan(2b))/(1-tan(a)·tan(2b)) = -(tan(a) + 2tan(b)/(1-tan2(b)))/(1-tan(a)·2tan(b)/(1-tan2(b)))
Hier bij is a = arctan(10$\omega$) en b = arctan($\omega$) dus tan(a) = 10$\omega$ en tan(b) = $\omega$.
Vullen we dit in dan krijgen we dat
0 = -(10$\omega$ + 2$\omega$/(1-$\omega$2))/(1-10$\omega$·2$\omega$/(1-$\omega$2))
= -(12$\omega$ - 10$\omega$3)/(1-21$\omega$2) = (10$\omega$3 - 12$\omega$)/(1-21$\omega$2)
Dit wil zeggen dat de breuk nul geeft als de teller 0 is of de noemer $\infty$.
1-21$\omega$2 = -$\infty$ $\Rightarrow$ $\omega$ = ±$\infty$
1-21$\omega$2 = +$\infty$ heeft geen reėle oplssing
10$\omega$3 - 12$\omega$ = 0 = 2$\omega$·(5$\omega$2-6) $\Rightarrow$ $\omega$ = 0 of $\omega$ = ±√(6/5)
Di geeft dus de mogelijke oplossingen. Maar je moet hiermee opletten namelijk tan(a) = 0 geldt immers niet alleen voor -180°, maar ook voor alle gehele veelvouden van -180°. We vullen dus de mogelijke oplossingen in. Voor 0 geeft dit 0, voor +√(6/5) geeft dit -180° en voor -√(6/5) geeft dit 180°.
De enige echte oplossing is dus +√(6/5).
FvS
18-1-2008
#53956 - Goniometrie - Student hbo