WisFaq!

Re: Cauchy produkt

Sorry, maar ik zie niet dat c(n)=x^n/2{1-(-1)^(n+1)}. Ik zou zeggen:
a(o).b(n)+a(1).b(n-1)+a(2).b(n-2)+...=
1.(-x)^n+x.(-x)^(n-1)+x^2.(-x)^(n-2)+x^3.(-x)^(n-3)+...=
(-x)^n-(-x)^n+(-x)^n-...
Maar dat lijkt niet wat jij hebt.

Helma
15-1-2008

Antwoord

Helma,
Wat hebben we:b(n)=(-x)^n=(-1)^nx^n.Dus c(n)=åx^k(-1)^(n-k)(x)^(n-k)=
x^nå(-1)^(n-k)=x^n{(-1)^n+(-1)^(n-1)+...+(-1)+1}.Tussen de accolades staat een meetkundige reeks.Tel op van achteren naar voren.Dan is de eerste term is 1,de reden is (-1) en het aantal termen is n+1.

Er is ook een snellere manier als het alleen om de uitkomst van het Cauchy produkt gaat:åc(n)=å(n van 0 naar¥å(k van 0 naar n)a(k)b(n-k)= en nu de sommatie volgorde verwisselen=å(k van 0 naar ¥a(k)å(n van k naar ¥b(n-k)= 1/(1-x)*1/(1+x)=1/(1-x²),voor |x|1.

Opmerking:We spreken over machtreeksen.

kn
16-1-2008