WisFaq!

Bewijs determinant van scheefsymmetrische matrix is 0

Een vierkante matrix A is scheefsymmetrisch.
Dus A^t= -A
Ik moet aantonen dat de determinant van een scheefsymmetrische 3X3 matrix gelijk is aan nul. En onderzoeken of dit ook geldt voor 2X2 matrix.

Ik had als matrix A genomen:
a b c
d e f
g h i

A^t=
a d g
b e h
c f i

Omdat A scheefsymmetrisch is geldt A^t = -A
Nu had ik de determinant van A^t berekent en van -A. Maar ik kom niet aan nul.

Kan iemand me even helpen. Ik zit toch dicht in de buurt niet?

Alvast bedankt.

vicky
15-1-2008

Antwoord

Je weet dat A^t=-A, dus kan je element per element nagaan wat de gevolgen daarvan zijn, je krijgt dan:
a=-a
b=-d
c=-g
d=-b
e=-e
f=-h
g=-c
h=-f
i=-i

Dus a=e=i=0; b=-d; c=-g; f=-h.

Je matrix A ziet er dus als volgt uit:
0 b c
-b 0 f
-c -f 0

En de determinant daarvan is makkelijk te berekenen en is inderdaad 0: vb met de 'regel van Sarrus':
0·0·0+b·f·(-c)+c·(-b)·(-f)-c·0·(-c)-b·0·(-b)-f·0·(-f)=0.

Een andere, elegantere manier (want zonder gedoe met elementen) is de volgende:
det(A)=det(A^t)=det(-A)=(-1)³det(A)=-det(A) dus det(A)=0.
De eerste gelijkheid is een welbekende eigenschap, de tweede gelijkheid geldt omdat A scheefsymmetrisch is, de derde stap kan je zetten omdat je van -A naar A gaat, dus je doet drie keer een rij maal -1, dus je determinant gaat maal (-1)·(-1)·(-1). Dit bewijs is dus geldig voor alle n·n-matrices met n oneven. Voor n even moet je dus nog iets anders verzinnen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
15-1-2008