WisFaq!

Integraal en extrema

Ik moet een aantal stellingen argumenteren onder het hoofdstuk "integralen". (Ik heb ook al optimalisatie, continuiteit, limieten, afgeleiden...gezien) Dit is gegeven:

Zij f een afleidbare functie die overal een positieve afgeleide heeft en waarvoor f(1)= 0.
Beschouw g: -:
x - de integraal van 0 tot x over f(t)dt

Nu moet ik argumenteren:
1. g is een afleidbare functie
2. g is continu
3. de grafiek van g heeft een horizontale raaklijn in x=1
4. g heeft geen lokaal maximum
5. g heeft een lokaal minimum
6. g heeft geen buigpunt
7. de grafiek van de afgeleide functie g' gaat in x=1 door de x-as

Zouden jullie mij kunnen helpen aub? Min cursus staat vol stellingen dat ik er gek van wordt voor dat examen, dat ik niet meer zie wat ik nu juist kan toepassen erop.

Nu bij nr7 dacht ik zo:
g(x)= de integraal van 0 tot x over f(t)dt = F(x)- F(0)
(waarbij F een primitieve is)dus is g'(x)= F'(x) = f(x)
Bijgevolg is F'(1)= f(1) = 0.

Dat f overal een positieve afgeleide heeft, wil dat zeggen dat f overal continue is en dat daarom g overal afleidbaar is (de hoofdstelling vd integraalrekening) ?

Alvast bedankt voor al jullie moeite en hulp, ook bij al mijn vorige vragen! Bedankt.

vicky
14-1-2008

Antwoord

Dag Vicky,

Je commentaar bij nr7 is correct (al is het niet meteen nodig nog een extra functie F in te voeren, maar dat kan geen kwaad). Ook de zin daarachter klopt, maar volgt gewoon uit het feit dat g'(x)=f(x) zoals je zelf hebt aangetoond, dus voor de conclusie dat g overal afleidbaar is heb je die hoofdstelling niet meer nodig.

Bon, je krijgt vragen over het verloop van een functie g, die zelf de integraal is van een functie f. Verloop van functies doet je hopelijk aan de afgeleide van die functie denken, dus je hebt te maken met de afgeleide van een integraal. Dus de hoofdstelling van de integraalrekening zou hier wel eens van pas kunnen komen... Kijk even na wat deze zegt, en besluit daaruit dat g'(x)=f(x) (dat had je zelf correct gedaan, maar als je iets moet argumenteren, en je gebruikt een stelling, moet je natuurlijk de voorwaarden van die stelling grondig nagaan). Daaruit volgt meteen 1., en uit 1. volgt 2. (daarvoor heb je niks over f(x) nodig, elke afleidbare functie is continu). Vermits gegeven is dat f afleidbaar is, is f dus ook continu, dus g' is afleidbaar en dus continu.

De rest in sneltreinvaart: Voor 3. heb je nodig dat g continu afleidbaar is (dit betekent g' bestaat en is continu, heb ik dus net aangetoond) en g'(1)=0 klopt ook want g'=f. 4.: een functie heeft een lokaal maximum in een punt als haar afgeleide er nul is, en haar tweede afgeleide negatief (of nul kan soms ook). Maar de tweede afgeleide van g is de eerste afgeleide van f, en die is positief, dus groter dan nul. Bij 5. kijk je best eens of de voorwaarden voor een lokaal minimum voldaan zijn in x=1. 6.: een buigpunt impliceert een tekenverandering van de tweede afgeleide van g (dus een tekenverandering van f'), maar f' is overal positief... En 7. betekent in symbolen niks anders dan g'(1)=0 dus f(1)=0 en dat is gegeven.

Groeten,
Christophe.

Christophe
15-1-2008