WisFaq!

Graad van een differentiaalvergelijking

hoi!
Ik heb een vraagje ivm differentiaalvergelijkingen. Ik snap niet goed wat er precies bedoeld wordt met de graad van een differentiaalvergelijking... De definitie stelt dat als F(x;y;y';y'';...;y^(n))=0 een veeltermfunctie is in y;y';y'';... dan is de graad van de differentiaalvergelijking gelijk aan de graad in y;y';y'';... Dit is nu juist wat ik niet snap, die graad in y;y';y'';...
In mijn cursus staan enkele voorbeelden gegeven:
y'=2x is van orde 1 en graad 1
y''+2y²y'=0 is van orde 2 en graad 3
y'''-(e^x)y''+(y'/(1+x²))-y+³√(1+x²)=0 is van orde 3 en graad 1
y'²+(x³)siny=(e^x) is van orde 1 maar heeft geen graad.

Hoe komt men hier nu telkens aan de graad, en waarom heeft deze laatste dan geen graad? ik dacht dat bij (y'')ⁿ n de graad was... maar bij de 2de oefening staat (y'')¹ terwijl de graad 3 is... zou iemand mij hiermee kunnen helpen?
dank bij voorbaat,
kristof

kristof
11-1-2008

Antwoord

Dag Kristof,

Het gaat om de hoogste graad die in de vergelijking voorkomt.

In het tweede voorbeeld staat 2y²y'. Dat deel heeft graad 3 (2 voor y² en nog 1 erbij voor y'). In deze vergelijking is dat de term met de hoogste graad. Dus is de hele vergelijking van graad 3.

In het laatste voorbeeld komt siny voor. Dat is geen macht van y. Daarom heeft de vergelijking geen graad. Je kunt de sinus wel uitschrijven met een tailorreeks. Maar dan komen alle machten van y voor. Dan is de graad dus oneindig. Zo wordt het ook wel gezegd.

Groet. Oscar

os
11-1-2008