WisFaq!

Factorstelling toepassen bij een vierdegraadsvergelijking

Ik heb overal gezocht, maar kon het antwoord nergens vinden. Ik moet namelijk met de factorstelling vierdegraadsvergelijkingen oplossen. Op deze site stonden wel voorbeelden, alleen snap ik enkele stappen niet.

Jullie hebben al eerder dit antwoord gegeven:
de formule is 2x⁴-4x³-13x²-6x-24=0
f(-2)=2.(-2)⁴-4.(-2)³-13.(-2)²-6.(-2)-24=0 dus geldt dat je f(x) kunt delen door x--2=x+2.
De uitkomst van deze deling is 2x³-8x²+3x-12. Dus geldt dat 2x⁴-4x³-13x²-6x-24=(x+2)(2x³-8x²+3x-12).

Nu snap ik niet hoe je van 2x⁴-4x³-13x²-6x-24 aan (x+2)(2x³-8x²+3x-12)komt. Je moet het delen door x+2...dus 2:2=1⁴=1x³...en -4:2=-2³=-8x²(die klopt dus)...en -13:2=-6.5²=42.25x (hoe komen jullie aan 3?)... en dan -6:2=-3...en tot slot -24:2=-12.

Waarschijnlijk doe ik het helemaal verkeerd ofzo, maar ik hoop dat jullie het kunnen uitleggen zodat het weer helder wordt .

Lisa
9-1-2008

Antwoord

Je wilt dus getallen a,b,c en d vinden zo, dat:
(x+2)(ax³+bx²+cx+d)=2x⁴-4x³-13x²-6x-24.
Als je de haakjes links uitwerkt krijg je:
ax⁴+bx³+cx²+dx+2ax³+2bx²+2cx+2d=
ax⁴+(b+2a)x³+(c+2b)x²+(d+2c)x+2d
Er moet nu dus gelden:
a=2 (1)
b+2a=-4 (2)
c+2b=-13 (3)
d+2c=-6 (4)
2d=-24 (5)

(1) en (5) geven gelijk: a=2 en d=-12.
a=2 invullen in (2) geeft b+4=-4, dus b=-8.
d=-12 invullen in (4) geeft -12+2c=-6, dus 2c=6, c=3
b en c invullen in (3) geeft 3-16=-13 en dat klopt.

Er bestaan ook wel algoritmen voor deze deling.
Ik noem er twee: staartdeling en het schema van Horner.
Dat deze werken berust eigenlijk op het oplossingsschema zoals ik hierboven heb geschetst.

hk
9-1-2008