WisFaq!

Integreren van rationale functies

Hallo,

sorry hoor, maar ik moet jullie nog eens lastigvallen... Ik ben nu bezig met het integreren van rationale functies en loop vast bij de volgende... degene hierna zijn min of meer analoog aan deze, dus ik kan nu niet verder..

Het gaat om de volgende opdrachten (ik zal er twee geven):

***ò(dx)/(x²+16)³
het lastige is die ³macht, die groter is dan een ^2...
= ò (du)/ (u²+16)³
= ò (1/ (16/cos²t))·(4/cos²t) dt
= 4/4096 ò cos⁴tdt
= 4/4096 ò ((1+cos2t)/2)² dt
hier doet zich t probleem voor in het kwadraat.. ik weet niet hoe ik dat verder moet uitwerken....
= 4/8192 t + 1/4096sin2t +k
met t= btgt u/a geeft:
= 4/8192 bgtg x/4 + 1/4096 sin2 bgtg x/4 + k

maar het zou dit moeten zijn:
= 3/8192 bgtg x/4 + 1/4096 sin2 bgtg x/4 + 1/32768 sin4 bgtg X/4 + k



opdracht twee:
**** ò (x+7)/(x²+16)³ dx
met v=x²+16 en dv = 2x
x+7 = 1/2 (2x) +7
= 1/2òv^(-3)dv + 7 [ òdx/(x²+16)³ ]

-- x²+16 geeft u=x en a=4

nu even alleen dit deel [ òdx/(x²+16)³ ] berekenen :
u = 4tgt en du= 4/cos²t dt
=ò (1/ (4/cos²t)³)·(4/cos²t)dt
=4/64 ò cos⁴tdt
=4/64 ò ((1+cos2t)/2)²dt
hier opnieuw weer die ².... :s
=4/64t + 1/32sin2t +k

invullen in het geheel geeft:
-1/4t^(-2) + 7 [ 4/64t + 1/32sin2t ] +k
met t= bgtg u/a geeft:
-1/4(x²+16)² + 7 [ 4/64bgtg(x/4) + 1/32sin2bgtg(x/4) ]+k

maar het zou moeten zijn:
-1/4(x²+16)² + 7 [ 3/8192bgtg(x/4) + 1/4096sin2bgtg(x/4) + 1/32768sin4bgtg(x/4) ] +k


alvast bedankt!

Lien
12-12-2007

Antwoord

Dag Lien,

Er zit in beide gevallen slechts een klein foutje:
(1+cos(2t))²=
1+2cos(2t)+cos²(2t)=
1+2cos(2t)+cos²(2t)-1/2+1/2=
1+2cos(2t)+1/2*cos(4t)+1/2=
3/2+2cos(2t)+1/2*cos(4t)

ALs je dat gebruikt klopt het helemaal!
Succes.

ldr
12-12-2007