WisFaq!

Niet homogene diff vgl van de tweede orde

Zouden jullie mij bij deze opdraht kunnen helpen? Ik heb em bijna helemaal opgelost, alleen bij het einde loop ik vast, omdat ik niet weet hoet het verder moet, maar volgens mij klopt het verder wel.

y'' + y = cosecx
y'' + y = 0
r² + 1 = 0
D = b²-4ac = -4 0
dus een imaginair getal invoeren
D = -4i²
r = (-b + Ö(4)i) / 2a = 2/2i
l = 0 en m = 1

dit geeft:
a(e^0 sinx) + b(e^0 cosx)
= a(sinx) + b(cosx)
y = a(x)sinx + b(x) cosx
y' = a'(x)sinx + a(x)cosx + b'(x)cosx - b(x)sinx
voorwaarde: a'(x)sinx + b'(x)cosx = 0 ---vgl 1---
y' = a(x)cosx - b(x)sinx
y'' = a'(x)cosx - a(x)sinx - b'(x)sinx - b(x)cosx

in opgave:
y'' + y = cosecx
a'(x)cosx - a(x)sinx - b'(x)sinx - b(x)cosx
+
a(x)sinx + b(x) cosx
=
cosecx = a'(x)cosx - b'(x)sinx ---vgl 2---


vgl 1: a'(x)sinx + b'(x)cosx = 0
vgl 2: a'(x)cosx - b'(x)sinx = cosecx = 1/sinx

en dan vgl 1 * cosx en vgl 2 * sinx?? want hier loopt ik vast..



En dan heb ik nog een vraag...
bij deze opgave: y'' + 5y'+ 4y = 3-2x
loop ik opnieuw vast nadat ik de gevonden y'', y'en y in de opgave heb gedaan en dan vind ik de volgende vergelijkingen

vgl 1 = a'(x)e^(-4e) + b'(x)e^(-x) = 0
vgl 2 = -4a'(x)e^(-4x) - b'(x)e^(-x)

hier komt ik niet meer uit..

Kunnen jullie me helpen??

Heel erg bedankt!

Lien
9-12-2007

Antwoord

Lien,
We zoeken een part.opl.y(p)=z(1)u(1)+z(2)u(2) met u(1)=cosx en u(2)=sinx.
Nu is W=u(1)u'(2)-u(2)u'(1)=cos²x+sin²x=1,zodat z(1)=-òdx=-x en
z(2)=ò(cosx/sinx)dx=ln|sinx|.Dus y(p)=-xcosx+sinxln|sinx|.
Voor de tweede opgave:probeer y= a+bx.

kn
10-12-2007