WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 29 maart 2024

Integreren van sin3x

beste wisfaq, het lukt mij niet om òsin3xdx op te lossen. in het boek heb ik de volgende uitwerking gevonden, maar ik zie niet hoe de substitutie plaats vindt...
zou u de uitwerking uitgebreider kunnen beschrijven?
òsin3xdx =òsin·sin2xdx òsin·(1-cos2x)dx
in de volgende stappen raak ik de klus kwijt:
ik ben gewend om de substitutie niet uit mijn hoofd te doen, maar gewoon helemaal uitschrijven om fouten te voorkomen.
-ò(1-cos2x)dcosx=1/3cos3-cosx +C

(heb wel geprobeer om de substitutie te doen maar het probleem wordt alleen maar groter...zie hieronder)
òsin3xdx =òsin·sin2xdx òsin·(1-cos2x)dx
ik stel t=cos2x®dt=2cosx·sinxdx®1/2dt=cosxsinxdx
en t=cos2x®Öt=cosx.

(1/Öt)·1/2dt=sinxdx....
ò(1-t)·1/2·(1/Öt)dt=1/2ò(1-t)/Öt dt

carlos
6-12-2007

Antwoord

Beste Carlos,

De substitutie netjes opschrijven, is zeker geen slecht idee. Pas wanneer je dat helemaal onder de knie hebt en vlot goochelt met afgeleiden en primitieven, kan je dit "versneld" doen.
In het boek brengen ze sin(x) "achter de d" (primitieve nemen), dat geeft sin(x)dx = d(-cos(x)) = -d(cos(x)).

Maar laten we het even normaal opschrijven, we hadden:

òsin(x)(1-cos2x)dx

Je hebt een functie van cos(x), namelijk 1-cos2x, en je hebt (op het teken na) de afgeleide van cos(x), namelijk sin(x). Dat suggereert een substitutie t = cos(x), want dan is dt = -sin(x)dx of -dt = sin(x)dx en dit laatste hebben we. Dus:

òsin(x)(1-cos2x)dx ® -ò(1-cos2x)(-sin(x))dx = -ò(1-t2)dt = òt2-1 dt

Lukt het zo?

mvg,
Tom

td
6-12-2007


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#53392 - Integreren - Student universiteit