WisFaq!

Partiële afgeleide en kettingregel

Zij f: $\mathbf{R}$²$\to\mathbf{R}$een functie met continue partiële afgeleiden minstens tot de tweede orde.
Veronderstel dat D₁f(1,0) $>$ 0.
Voor de rest is er niets bekend over f.
Beschouw nu de functie g:$\mathbf{R} \to\mathbf{R}$: t$\to$f(1-t²,t⁴)

OPGAVE
1. Gebruik de kettingregel om g' en g' uit te drukken in termen van de partiële afgeleiden van f.
2. Toon aan dat g een (lokaal)extremum bereikt in t=0. Is dat een maximum of een minimum?

Mijn oplossing:
1. g'(t)= D₁f(1-t²,t⁴)· (-2t)+ D₂f(1-t²,t⁴)·4t³

Nu hoe doe ik g'(t)?
Ik dacht:
D²₁₁+ D²₂₁+ D²₂₂+D²₁₂. Is dit juist en zo ja kan/moet ik dat verder uitwerken?

2. Normaal moet je voor dit de nulpunten van de 1ste afgeleide zoeken, en kijken naar stijgen of dalen...
Maar hoe kan ik de nulpunten zoeken van iets als
g'(t)= D₁f(1-t²,t⁴)· (-2t)+ D₂f(1-t²,t⁴)·4t³ ?

Ik heb een hele cursus vol met theorie eromtrend maar ik weet niet wat of waar toe te passen. Ik zie door het bos de bomen niet meer of hoe gaat die uitdrukking.

student
5-12-2007

Antwoord

Dag Vicky,

Het is 'door de bomen het bos niet meer zien', het betekent dat je door te veel details (de bomen dus) het overzicht kwijtraakt en het grotere geheel (het bos dus) niet meer zit. Maar dat terzijde

Je g'(t) gaat goed, dat doe je met behulp van de kettingregel. Om dit nog eens af te leiden (en dus g'(t) te bekomen), moet je eens kijken naar de structuur van g'(t): je kwam uit op een som van twee termen, die elk een product zijn van twee functies (namelijk telkens een partiële afgeleide van f maal een veelterm in t). Je zal dus de productregel nodig hebben, en je krijgt:

g'(t)=(D₁f(1-t²,t⁴))'·(-2t)
+ (D₁f(1-t²,t⁴))·(-2)
+ (D₂f(1-t²,t⁴))'·(4t³)
+ (D₂f(1-t²,t⁴))·(12t²)

Nu moet je nog die afgeleiden van D₁f(1-t²,t⁴) en zo berekenen. Wel, ook dit gaat weer met de kettingregel. Je hebt zelf correct de afgeleide kunnen berekenen van g(t)=f(1-t²,t⁴), dus moet je dat ook kunnen voor de functie D₁f(1-t²,t⁴), het gaat op exact dezelfde manier.

Zo kom je op:
g'(t)=
(D₁₁f(1-t²,t⁴)·(-2t)+D₁₂f(1-t²,t⁴)·(4t³))·(-2t)
+ D₁f(1-t²,t⁴) ·(-2)
+ (D₂₁f(1-t²,t⁴)·(-2t)+D₂₂f(1-t²,t⁴)·(4t³))·(4t³)
+ D₂f(1-t²,t⁴) ·(12t²)

Voilà, nu heb je de gevraagde uitdrukkingen voor g'(t) en g'(t). Nu, voor dat extrema: je weet dat een functie g een extremum heeft in een punt als de eerste afgeleide van g in dat punt, nul is, en de tweede afgeleide niet nul (NB: als de tweede afgeleide ook nul is kan het nog altijd zijn dat je een extremum hebt, maar dan is verder onderzoek nodig). Bovendien heb je een minimum als de tweede afgeleide positief is (want dan heb je een holle functie) en een maximum als de tweede afgeleide negatief is (bolle functie).

Hier is al meteen het punt gegeven dat je moet onderzoeken, namelijk t=0. Dus neem je formule voor g'(t) en vervang overal t door nul; doe hetzelfde met de formule voor g'(t). Kom je ook uit dat g een maximum heeft in t=0?

Groeten,
Christophe.

Christophe
6-12-2007