WisFaq!

Integralen van goniometrische functies

Hoe bereken je
1. òdx/(1-2sin²x)²
2. wat gaat er bij deze opgave verkeerd? ik kan mijn fout maar niet vinden...
ò(e^...Ö(x)sinÖ(x))/(Ö(x))dx
t= Öx dt=1/2Öx
geeft: 2ò(e^...(t)sint)dx
met u= e^...t du= e^...tdt
en dv= sintdt v=-cost
geeft:
-2e^...(t)cost+2òe^...(t)costdt
met u=e^...t du=e^...tdt
dv=costdt en v=sint
geeft -2e^...(t)+2e^...(t)sint-2òe^...(t)sintdt=2òe^...(t)sintdt

het zou moeten zijn: -e^...(t)cost+e^...(t)sint

hoe kan dat?

bedankt

Lien
3-12-2007

Antwoord

Als we dan toch bezig zijn...

1. Die is precies iets lastiger dan die andere opgaven: als je de 't-formules' al gezien hebt kan je die gebruiken, die komen neer op de substitutie t=tg(x/2). Als je die nog niet gezien hebt kan je natuurlijk moeilijk spontaan op die substitutie komen. Dan kan je wel de dubbelehoekformule gebruiken: 1-2sin²x=1-sin²x-sin²x=cos²x-sin²x=cos(2x). Je krijgt dus een cos² in de noemer, dat herken je allicht als een basisintegraal.

2. Je komt correct op 2òe^tsin(t)dt (noem deze I). Dat is ook min of meer een klassieker, je doet twee keer partiële integratie om opnieuw op deze integraal uit te komen: (je keuzes voor u en v waren juist)
I = -2e^tcos(t)+2òe^tcos(t)dt
= -2e^tcos(t)+2e^tsin(t)-2òe^tsin(t)dt
= -2e^tcos(t)+2e^tsin(t)-I
Breng nu die I uit het rechterlid naar links, je krijgt
2I = -2e^tcos(t)+2e^tsin(t)
Dus I = -e^tcos(t)+e^tsin(t)

Deze techniek (door twee keer partieel afleiden uitkomen dat I = ... - I waaruit volgt dat I = 1/2(...) ) werkt juist omdat het afleiden van een exponentiële functie opnieuw een exponentiële geeft, en omdat het afleiden van een sinus een cosinus, en na nog eens afleiden opnieuw een sinus geeft. Deze techniek zal je dan ook alleen kunnen toepassen om de integraal te berekenen van een exponentiële maal een goniometrische functie. Het kan een goeie oefening zijn om eens òe^2xcos(3x)dx te berekenen.

Christophe
4-12-2007