WisFaq!

Re: Rationale functie integreren

Bedankt voor de snelle reactie!
Echter... ik begrijp t niet helemaal...
ik kwam zelf op (3x-2)² 2²...
als t= 3x-2 dan is dt=3dx == 1/3dt = dx

ò(2x+3)/(t²+2²) 1/3ò(3/2t-6.5)/(t²+2²)dt
= (1/3)(2/3)òtdt/(t²+2²) - (1/3)(-6.5)òdt/(t²+2²)

en dit komt opnieuw weer niet uit...
Sorry he! maar t wil me niet lukken...

Lien
1-12-2007

Antwoord

Akkoord, maar iets met t²+2 in de noemer is niet zo leuk, dat is geen basisintegraal (nuja dat hangt er natuurlijk van af wat je basisintegralen noemt, maar ja). Ik denk dat je bij de x,t omzetting ook ergens een tekenfoutje maakt in die teller, op het eerste zicht.

Laten we hem eens uitwerken:
ò(2x+3)/(9x²-12x+8)dx
= ò(2x+3)/((3x-2)²+2²) dx
stel 3x-2=t dus 2x+3=(2t+13)/3 en dx=dt/3
= ò((2t+13)/3)/(t²+4) dt/3
= ò((2t+13)/3)/(4(t²/4+1)) dt/3
(dit doe ik om een kwadraat plus 1 te krijgen in de noemer ipv een kwadraat plus 4)
= 1/36 ò(2t+13)/((t/2)²+1) dt
stel u=t/2 dus 2t+13=4u+13 en dt=2du
= 1/36 ò(4u+13)/(u²+1) 2du
= 1/18 ò(4u+13)/(u²+1) du
= 2/9 òu/(u²+1) du + 13/18 òdu/(u²+1)
stel v=u²+1 in de eerste integraal dan dv=2udu
= 1/9 òdv/v + 13/18 Bgtg(u)
= 1/9 ln(v) + 13/18 Bgtg(u) + C
= 1/9 ln(u²+1) + 13/18 Bgtg(u) + C
= 1/9 ln(t²/4 + 1) + 13/18 Bgtg(t/2) + C
= 1/9 ln((3x-2)²/4 + 1) + 13/18 Bgtg((3x-2)/2) + C
= 1/9 ln(9x²/4-3x+2) + 13/18 Bgtg(3x/2-1) + C

En klopt dit nu? Dat vragen we even aan Maple:

simplify(diff(1/9*log(9/4*x^2-3*x+2)+13/18*arctan(3/2*x-1)+C,x));

2 x + 3
---------------
9 x² - 12 x + 8

Ja dus!

Christophe
1-12-2007