WisFaq!

Rationale functie integreren

Hoe los je
ò(2x+3)/(9x²-12x+8)dx op?

Ik heb als eerst de breuk gesplitst in:

ò 2x/(9x²-12x+8)dx ...
en t=(9x²-12x+8) en dt=18x-12dx dus dt/18x-12=dx
bij dit deel loop ik dus al vast :s
... + 3òdx/(9x²-12x+8)
en de noemer te vereenvoudigen in (3x-2)²+2² waardoor je dus krijgt: 3òdx/((3x-2)²+2²) en dit zou resulteren in 3 * 1/2 bgtg (3x-2)/2 +k
en dit deel is niet correct :s

Waar ga ik de fout in? En hoe zou ik het dus moeten oplossen?

Heel erg bedankt!!

Lien
30-11-2007

Antwoord

Dag Lien,

Die noemervereenvoudiging is eigenlijk de eerste stap die je moet zetten. Ik zou dan nog een factor vier in de noemer afzonderen, zodat je krijgt:
(3/2 x - 1)² + 1
Met de substitutie u=3/2x-1 krijg je dan u²+1 in de noemer.

De hele teller is iets van de eerste graad in x, dus als je de substitutie doorvoert krijg je iets van de eerste graad in u. Je hebt dan dus een integraal van de vorm
ò(au+b)/(u²+1) du

En nu kan je dan wel de teller opsplitsen, de twee integralen die je dan nog moet uitrekenen zijn dan (op constanten na):
òdu/(u²+1) (wat bgtg u geeft)
en
òu/(u²+1) du (wat je kan oplossen met de substitutie v=u²+1 dus dat geeft 1/2 ln(u²+1))

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-11-2007