WisFaq!

Re: Integraal oplossen

Ik zou de integraal toch graag expliciet willen oplossen,
nu ja, deze misschien niet, maar ik moet ook de volgende oplossen:

Int(x^2*exp(x)/(1+exp(x))^2,x=-infinity..infinity);

waardoor ik niet meer kan zeggen dat deze nul wordt.

Ben
21-11-2007

Antwoord

De uitkomst van deze integraal blijkt p²/3 te zijn.

Bij je eerste opgave is het nog doenbaar om een primitieve te vinden: voer de substitutie y=1+exp(x) door, en doe dan partiële integratie waarbij je dy/y² herkent als d(-1/y). Uitwerken en opnieuw omzetten naar x geeft dan vrij snel de primitieve (x*exp(x))/(1+exp(x))-ln(1+exp(x)).

Bij de tweede (die met x²) wordt het iets moeilijker: ik denk dat je best op dezelfde manier begint, dus dezelfde substitutie en dezelfde partiële integratie. De integraal die je dan overhoudt is nu wel lastiger: het is
ò2ln(y-1)/(y*(y-1)) du.
Splits dit in partieelbreuken met 1/(y*(y-1))=1/(y-1)-1/y.
De integraal met de y-1 in de noemer is eenvoudig op te lossen via de substitutie ln(y-1)=t.
De andere integraal (dat is dan nog 2òln(y-1)/y dy) heeft echter geen basisfunctie als primitieve, de integraal wordt aangeduid met het begrip 'dilogaritme' of algemener, 'polylogaritme'.

Dus zo krijg je een primitieve functie, alleen is het jammer dat verschillende termen oneindig geven als je de grenzen invult (ze heffen elkaar wel op blijkbaar want het eindresultaat is eindig, maar dat is dan weer moeilijk in te zien).

Is het echt de bedoeling dat je deze tweede integraal met de hand uitrekent? En zoja, op welke integratietechniek vermoed je dan dat het een toepassing is? Of heb je een integraalvoorstelling gezien van de Riemann Zetafunctie? Want jouw integraal is p²/3 terwijl z(2)=p²/6, en z(2) heeft enkele integraalvoorstellingen, zoals ò₀^¥u/(exp(u)-1)du (zie hier) dus als je kan aantonen dat die twee integralen op een factor 2 na, gelijk zijn, dan heb je ook de oplossing...

Christophe
21-11-2007