WisFaq!

Integraal oplossen

Ik geraak niet op weg met volgende integraal:

Int(x·exp(x)/(1+exp(x))²,x=-infinity..infinity)

Kan u mij op weg zetten, waar ik best van vertrek.

Mvg

ben
21-11-2007

Antwoord

Dag Ben,

Eigenlijk moet je er niet al te veel voor integreren: als je de functie plot dan merk je dat deze oneven is (toon dit wel nog expliciet aan door f(-x) te berekenen!). En de integraal tussen symmetrische grenzen (dus -M en M) van een oneven, integreerbare functie is nul.

Dus je moet ook nog wel nagaan dat je functie integreerbaar is, anders zou je op dezelfde manier kunnen besluiten dat $\int{}$x dx tussen min en plus oneindig, gelijk is aan nul.

Bewijzen dat de functie integreerbaar is, kan je als volgt: de functie wordt nergens oneindig, dus er kunnen alleen problemen optreden als x naar oneindig gaat. Dus als je kan aantonen dat er een M bestaat waarvoor $\int{}$_M^$\infty$ xe^x/(1+e^x)² dx eindig is, dan ben je er. En met enkele afschattingen lukt dat wel, immers:
voor x groot genoeg is xe^x/(1+e^x)² $<$ xe^x/(e^x)² = x/e^x $<$ e^(x/2)/e^x = e^(-x/2) en als je dat integreert tussen M en oneindig, krijg je iets dat eindig is.

Groeten,
Christophe.

Christophe
21-11-2007