WisFaq!

Aantal differentiaalvergelijkingen

Goede dag,

Ik heb een aantal DVGL waar ik de antwoorden niet van heb:

1. Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:
(3x²y - 2xsiny + 2xlny)dx + (x³ -x²cosy+(x²/y)dy = 0
a. Toon aan dat deze differentiaalvergelijking exact is:
dp/dy = 3x² -2xcosy + 2x·(1/y)
en dq/x = 3x² -2xcosy + 2x·(1/y)
Dus exact.
b. Los deze differentiaal vergelijking op.
F(x,y) = Int (3x²y - 2xsiny + 2xlny)dx
= F(x,y) = x³y -x²siny + x²lny + c(y)
dy/dy = x³ -x²cosy +(x²/y) + c'(y)
= c'(y) = 0 = c(y) = c
Dus de oplossing is dan:
x³y -x²siny + x²lny = c

Dan de volgende:
Gegeven is de differentiaalvergelijking:
y'' + 4y' + 5y = 4cosx
Ger. dvgl: y'' + 4y' + 5 y = 0 stel y=e^(Fx)
= F² + 4F + 5 = 0 =
F1,2 = (16+- Ö-4) / (2) = F1,2 = -2+-j
= y=e^(-2x) (Asinx + Bcosx)
Dan part opl. y = Acosx+Bsinx y'= -Asinx+Bcosx
y''= -Acosx-Bsinx
= (-A +4B +5A)cosx + (-B -4A +5B)sinx = 4cosx
= A = 0,5 en B = 0,5
Dus de oplossing zou dan worden:
y=e^(-2x) (A sinx + Bcos) + 0,5cosx + 0,5sinx

En de laatste:
Los de volgende differentiaalvergelijking op:
y'' + 4y' + 3y = (x³ +1)e^(5x)
y = ze^(5x) y' = z'e^(5x) + 5ze^5x)
y'' = z''e^(5x) + 10z'e^(5x) + 25ze^(5x)
Invullen:
z'' + 14z' + 48z = x³ + 1
Ger. dvgl:
z'' + 14z' + 48z = 0 Stel z=e^(Fx)
= F² + F + 48 = 0 = F1 = -6 F2 = -8
Dus z = c1e^(-6x) + c2e^(-8x)
Dan part opl. z = Ax³ + Bx² + Cx + D
= z' = 3Ax² + Bx + C = z''= 6Ax + B
Invullen =
6Ax + B + 14(3Ax² + Bx + C) + 48(Ax³ + Bx² + Cx + D) = x³ + 1

= A = 1/48
= B = -(1/33)
= C = 3/112
= D = 11/448

Dus opl. z: c1e^(-6x) + c2e^(-8x) + (1/48)x³ -(1/33)x² + (3/112)x + 11/448

Dus opl. y= c1e^(-x) + c2e^(-3x) + (1/48)x³e^(5x) -(1/33)x²e^(5x) + (3/112)xe^(5x) + 11/448e^(5x)

Mijn vraag, kloppen bovenstaande antwoorden?

Alvast bedankt!

Bert Vaandel
29-10-2007

Antwoord

Heb je al eens geprobeerd de oplossingen te substitueren in de opgaves? Zeker voor de laatste twee differentiaalvergelijkingen is dat voldoende controle, omdat je weet hoe je oplossing er in het algemeen uit moet zien. De eerste kan je ook makkelijk zelf controleren, aangezien F(x,y)=c = dF(x,y)=0

cl
29-10-2007