WisFaq!

Irrationaal

Beste Wisfaq,

Hoe kan je bewijzen dat ³√7 geen breuk is?
Bedankt voor de hulp!
Patria

Patria
10-10-2007

Antwoord

Beste Patricia,
Dat bewijs gaat eigenlijk bijna hetzelfde als het bewijs dat √2 geen irrationaal getal is.
Zie hiervoor o.a.:

Wortel 2 is irrationaal

Begin met: ³√7=p/q, waarbij p en q relatief priem zijn, ofwel p/q is niet te vereenvoudigen. (ggd=1)

Dan geldt: p³/q³=7, ofwel:
p³=7q^{3 ·}.
Dan heeft p³ een factor 7 (deelbaar door 7) en dus ook p is deelbaar door 7. (mag want 7 is priem).
We kunnen p dus schrijven als 7n en p³=7³n³.
Invullen in ·:
7³n³=7q³, ofwel q³=7²n³.
q³ heeft dus een factor 7.
Nu hebben we een tegenspraak, wanat zowel p als q blijken een factor 7 te hebben, maar p/q was niet te vereenvoudigen.!

ldr
10-10-2007