WisFaq!

Kansen van een spel

Stel je deelt aan 4 spelers elk 13 kaarten uit (uit een gewoon spel kaarten). Wat is dan de kans dat de situatie zich voordoet dat een speler 3 azen in zijn hand heeft?
Ik zit er al een tijdje over na te denken maar ik kom er voorlopig niet uit.
Groetjes
Joris

joris
10-10-2007

Antwoord

Ik interpreteer je vraag als: wat is de kans dat er een (willekeurige) speler exact drie azen heeft.

In het algemeen zijn de volgende verdelingen van de azen over 4 spelers mogelijk
1) een speler heeft er vier (kans P1)
2) een speler heeft er drie, een andere heeft er een (kans P2)
3) twee spelers hebben er elk twee (kans P3)
4) een speler heeft er twee, twee andere hebben er elk een (kans P4)
5) elke speler heeft er een (kans P5)

Jij bent dus geinteresseerd in P2.

Eerst gaan we het probleem wat ik zou noemen "concretiseren": in de oorspronkelijke opgave staat niet welke speler er drie en welke speler een aas moet hebben, hoewel die kans zeer nauw verbonden is met de kans die je zou bekomen wanneer je wel concrete spelers aanduidt.

Noem de spelers A-B-C-D en noteer met P(a-b-c-d) de kans dat A, B, C en D respectievelijk a, b, c en d azen hebben. Dan is

P1 = P(4-0-0-0)+P(0-4-0-0)+P(0-0-4-0)+P(0-0-0-4) = 4 P(4-0-0-0)

aangezien de spelers geen invloed kunnen uitoefenen op de kaarten die ze krijgen en dus in zekere zin verwisselbaar zijn. Op dezelfde manier vind je

P2 = 12 P(3-1-0-0)
P3 = 6 P(2-2-0-0)
P4 = 12 P(2-1-1-0)
P5 = P(1-1-1-1)
(beredeneer zelf hoe je deze factoren in het algemeen zou kunnen bepalen)

Rest ons nog de "concrete" kansen te bepalen. Bijvoorbeeld voor P(2-1-1-0):

Deel de kaarten speler na speler uit.
A moet 2 azen krijgen van de 4 en 11 niet-azen van de 48
B moet 1 aas krijgen van de 2 overblijvende en 12 niet-azen van de 37 overblijvende
C moet 1 aas krijgen van de 1 overblijvende en 12 niet-azen van de 25 overblijvende
D zal nu sowieso 13 niet-azen krijgen

P(2-1-1-0) = (4 2)(48 11)/(52 13) . (2 1)(37 12)/(39 13) . (1 1)(25 12)/(26 13) = 1014/20825

Zo krijg je

P1 = 220/20825
P2 = 3432/20825
P3 = 2808/20825
P4 = 12168/20825
P5 = 2197/20825

Je ziet ook dat P1+P2+P3+P4+P5=1, zoals verwacht, aangezien ze alle mogelijke situaties behandelen. Dat is trouwens een gouden tip om de juistheid van een mogelijke redenering wat te toetsen: ook al is enkel een "deelkans" gevraagd (zoals hier jouw P2), bepaal ook de andere gelijkaardige kansen en controleer of ze samen 1 vormen.

cl
13-10-2007