WisFaq!

Lineariseren (bewijs)

het lineariseren van een functie f(x) gebeurt op basis van: L(x)=f(a)-f'(a)(x-a)
(We stellen de raaklijn gelijk in punt a zodat in punt a f(x)=f(a)).
Een willekeurig punt x geeft dit een afwijking van (delta)x. Dus de fout(E(x)) op punt x is dan; E(x)=f(x)-L(x)
Dit schrijven we vervolgens op als: (als xa)
E(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) (tot hier is het duidelijk)

Vervolgens gaan ze in het boek verder met dit:
E(t)=f'(t)-f'(a) (Jammer dat ik geen plaatjes kan uploaden)
Op basis hiervan is voor deze twee functies de middenwaardestelling toe te passen waar voor E(t) [a,x] en E(a)=0 en we stellen vast dat er een waarde 'u' in (a,x) is.

Dit geeft:
^E(x)/_(x-a)²=^E(x)-E(a)/_{(x-a)²-(a-a)²}=^E'(u)/_2(u-a)=^f'(u)-f'(a)/_2(u-a)=1/2f"(s)

Dit bewijs volg ik niet! Ze maken zoveel variabele aan (x,a,t,s,u) kunt u dit bewijs verduidelijke dmv. wat tussenstappen.(of adhv. een voorbeeld)

Mvg & Bvd Reinier

Reinier
29-9-2007

Antwoord

Beste Reinier,

Zo te zien ben je bezig met behulp van de middelwaardestelling de Taylor-reeks af te leiden. Het bewijs dat ik ken werkt met behulp van integralen. Maar, zo te zien werkt het op deze manier ook.

De middelwaardestelling zegt: er is een u tussen x en a zdd:
(f(x)-f(a))/(x-a) = f'(u). Vandaar dat er steeds een nieuwe variabele bijkomt.

De laatste gelijkheid is hier een typisch geval van. De stelling is hier toegepast op f'. Er is dan een s tussen u en a zdd. (f'(u)-f'(a))/(u-a) is f''(s). Nog een twee in de noemer erbij en je hebt het gegeven resultaat.

De gelijkheid daarvoor is gewoon een kwestie van de definitie van E invullen. De t is hiervoor gebruikt. Die heb je dus niet echt nodig.

De eerste gelijkheid is ook redelijk triviaal. Immers E(a)=0 en (a-a) ook.

Het probleem zit in de tweede gelijkheid. Hier lijkt ook weer de middelwaardestelling te worden toegepast. Dit keer er is een u tussen x en a zdd... Maar het gaat wel anders. De truuk is dat je hiervoor een nieuwe functie definieert, nl: F(y) = E(Öy+a). Nu geldt: er is een z tussen 0 en y zdd (F(y)-F(0))/(y-0)=F'(z). Maar: F'(z) = E'(Öz+a)/(2Öz).
Dus E(Öy+a)-E(a))/(y-0)=E'(Öz+a)/(2Öz). Neem je nu y=(x-a)² en z=(u-a)² dan krijg je het gewenste resultaat. Een beetje gedoe, maar het werkt wel.

Je hebt nu een s tussen x en a zdd de tweede gelijkheid geldt en een s tussen u en a zdd de laatste gelijkheid geldt. Die s ligt ook tussen x en a. Uiteindelijk heb je dus een s tussen x en a waarvoor het geheel geldt. En dat geeft je de tweede orde van de Taylor-ontwikkeling.

Wordt het zo duidelijker? Groet. Oscar

os
1-10-2007