WisFaq!

Zwaartepunt piramide met willekeurig grondvlak

Hoi, ik wil het zwaartepunt berekenen van een piramide met willekeurig gevormd grondvlak, waarvan één zijde loodrecht op het grondvlak staat.
hoe doe ik dat? is het altijd op 1/4 h van het grondvlak omhoog?
en op 1/4 afstand van het vlak loodrecht op het grondvlak?

ik hoop dat u me kunt helpen.

vriendelijke groet
ps nog bedankt voor de snelle reactie op mijn vorige vraag!

peter wever
6-11-2002

Antwoord

Hoi,

Wanneer we op hoogte x boven het grondvlak (met x tussen 0 en h) een vlakke snede maken, evenwijdig met het grondvlak, dan krijgen we een doorsnede die gelijkvormig is met het grondvlak. De gelijkvormigheidsfactor is l=(h-x)/h=1-x/h. Voor het omsloten volume V(x) boven dit snijvlak hebben we dus: V(x)/V=(1-x/h)³.

Een schijfje tussen hoogte x en x+dx heeft een volume
dV = V(x)-V(x+dx)= V.[(1-x/h)³-(1-(x+dx)/h)³]= V/h³.[(h-x)³-(h-x-dx)³]

Voor kleine dx kunnen we de termen in (dx)² en hogere machten verwaarlozen en krijgen we:

dv=3V/h³.(h-x)².dx (1)

Bemerk dat òdv = 3.V/h³.ò(h-x)².dx = 3.V/h³.h³/3=V, zoals verwacht.

We veronderstellen dat je piramide een homogene massaverdeling heeft. We kunnen het zwaartepunt dus met de volumeverdeling bepalen.

Het zwaartepunt moet dus op de lijn liggen die het zwaartepunt van het grondvlak met de top verbindt.

Bovendien zal het zwaartepunt op een hoogte g liggen zodat:
g.òdm=òx.dm
En dus: g = òx.dv/òdv = òx.dv/V

En met uitdrukking (1):
g=3/h³.òx.(h-x)².dx

Je rekent uit dat òx.(h-x)².dx = h⁴/12 (x tussen 0 en h), zodat: g=h/4.
Het zwaartepunt ligt dus inderdaad op 1/4 van de hoogte van de piramide.
Omdat het ook ligt op de verbindingslijn van de top met het zwaartepunt van het grondvlak, is de positie daarmee eenduidig vastgelegd.

Bemerk ook dat we niet nodig hadden dat een zijde loodrecht op het grondvlak staat. Misschien vind je nog een meetkundige verklaring. We gebruikten ook niet dat het grondvlak een veelhoek moet zijn. Het bewijs geldt dus ook voor kegels met een willekeurige gesloten vlakke kromme als grondvlak. Zie ook Bewijs inhoudsformule van piramide.

Groetjes,
Johan.

andros
6-11-2002