WisFaq!

Afgeleide van een wortel van een breuk

Kan iemand me de stapsgewijze oplossing geven voor de volgende oefening?
Bepaal de afgeleide van y naar x van y=Ö(x/x+1) ?
(breuk x/x+1 staat dus helemaal onder het wortelteken)
Alvast bedankt!

Veerle
24-8-2007

Antwoord

Hiervoor heb je dus (ondermeer) de kettingregel nodig.
Je herkent in je probleem eigenlijk 2 functies:
f(x)=x/x+1 en g(x)=Öx
waarbij f(x) is ingevuld in g(x). zo krijg je
h(x) = g(f(x)) = Ö(x/x+1)

Om de afgeleide te vinden van h(x) moet je eerst differentiëren naar f(x), en vervolgens f(x) naar x differentiëren. In wiskundige taal:
dh(x)/dx = dh(x)/df(x) . df(x)/dx
eerst het eerste stuk: dh(x)/df(x)
dit komt er, populair gezegd, opneer dat je alléén de wortel differentieert maar dat je de "x/x+1" in zijn geheel met rust laat.
We moeten dus eerst Ö(x/x+1) differentiëren naar x/x+1, en dat is hetzelfde als Öq differentiëren naar q. Dat is eenvoudig. Dat is namelijk 1/{2Öq}
Dus Ö(x/x+1) differentiëren naar x/x+1 is 1/{2Ö(x/x+1)}
ofwel ¹/₂.Ö((x+1)/x)

Het df(x)/dx gedeelte betekent 'gewoon' dat je x/x+1 moet differentiëren naar x. Dit gaat met de quotientregel.

Dus: h'(x)= ¹/₂.Ö((x+1)/x) . 1/(x+1)² = ..

groeten,
martijn

mg
24-8-2007