WisFaq!

Formule voor een genererende functie

Hoi

ik heb een vraag in verband met genererende functies

ik zoek de formule voor 1+x+x³+x⁵+... aldus de oneven getallen

ik weet de formule voor even getallen

1/ (1-x²)

dit is dus de formule voor 1 + x² + x⁴ + ...

dus ik dacht aan 1 / (1-x²)x

dit zou x+x³+x⁵ enzovoort

en dit is bijna wat ik zoek: (ik zoek echter 1+x+x³+x⁵+.. met nadruk op die 1 van voor)

Ik ben hier maar luidop aan het denken, mogelijk verkeerd maar

als ik nu 1+x en dan x³+x⁵+x⁷+... genereer

krijg ik

(1-x²)/(1-x) en [1/(1-x²)x]-x


mag ik nu zo stellen van

[(1-x²)/(1-x)]+ ([1/(1-x²)x]-x) ofzo,


m.a.w. HELP!

bedankt!

jeffrey
21-8-2007

Antwoord

Beste Jeffrey,
De reeks die jij opgeeft: 1+x+x³+x⁵+...
is niet helemaal een meetkundige reeks. De reden (vermenigvuldig factor)zou zijn x², maar niet van term 1 naar term 2!
Het zou dus logischer zijn om de reeks bij x te laten beginnen, dan heb je een meetkundige reeks met beginterm x en reden x².
De som voor n$\to\infty$ is dan beginterm/(1-reden)=x/(1-x²).
Het enige wat je nu nog mist voor jouw reeks is de term 1, dus: tel die er bij op! Dan krijg je:

1+x/(1-x²)= (-x²+x+1)/(1-x²)

Je eerste poging was dus al bijna het juiste antwoord!...
Je kan het antwoord altijd controleren met bijvoorbeeld de berekening:

(1-x²)(1+x+x³+....)=(1+x+x³+....)-(x²+x³+....)=1+x-x².

Succes,

ldr
21-8-2007