WisFaq!

Als abc geconjugeerd met cba, dan....

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende vraag. Hoe laat men zien dat: Als voor alle a,b,c in de Groep G geldt abc is geconjugeerd met cba, dan is G abels. Kunt u mij zeggen hoe dit bewezen kan worden.

Vriendelijke groet

Jim
18-8-2007

Antwoord

Hoi Jim,

Ik heb het! Je maakt gebruikt van het feit dat het neutrale element (e) alleen geconjugeerd is met zichzelf. Met geconjugeerd bedoel je (neem ik aan): u en v uit G zijn geconjugeerd d.e.s.d.a. er een x uit G is z.d.d. xux^inverse=v. Wanneer nu u geconjugeerd is met e is er een x z.d.d. u = xex^inverse = e. Dus moet u dan wel gelijk zijn aan e.

Nu het bewijs: Neem willekeurige a en b uit G en c de inverse van ab. Dan is abc=e en natuurlijk is ab gelijk aan de inverse van c. Volgens het gegeven is cba geconjugeerd met abc=e en dus: cba=e. Nu geldt dat ba ook gelijk is aan de inverse van c. Tenslotte volgt: ba = ab zodat G abels is.

Groet. Oscar

os
25-8-2007