WisFaq!

Als p een oneven priemdeler van n=1+x², dan p=1 mod 4

Geachte wisfaq,

Mijn vraag is de volgende. Hoe bewijst men: Als p een oneven priemdeler is van het getal n=1+x² met x element van, dan is p=1 mod 4.

Met vriendelijke groet

Jim
18-8-2007

Antwoord

Beste Jim,

Als p oneven, dan p-1=2t.
Als nu t even , dan voldoet p aan 1 mod4
p is priem en deler van n=x²+1, dan is p geen deler van x² en ook niet van x.Dus g.g.d.(x,p)=1
Dan geldt volgens de kleine stelling van Fermat:
x^(p-1)=1 mod p.
Verder geldt: n=x²+1=0 modp (p deler van n),dus:
x²=-1 modp.

We krijgen dan:
x^p-1=x^2t=(x²)^t=(-1 modp)^t=1 modp
Dat laatste kan alleen als t even.
q.e.d.
Succes.

ldr
18-8-2007