WisFaq!

Grenzen bepalen bij meervoudige integratie

wisfaq

Bij het zoeken naar grenzen loopt het telkens mis...

bv: x²+y²=16; z=0 en y=2z waarom moet er dan voor x geintegreerd worden van -4 tot 4?

bv: bepaal de integraal van x² over de ruimte tussen de coordinaatvlakken en het vlak 12x+20y+15z=60 Hoe moet ik hier de grenzen bepalen? Ik weet dat je telkens hetzelfde moet toepassen maar weet niet wat. In dit geval kan je z uit de opgave halen en x en y dan?

bv: Bereken de inhoud van het lichaam onder z=1-x²-y² binnen x²+y²-x=0 en boven z=0

Alvast bedankt voor de hulp!!!

T
16-8-2007

Antwoord

Het opstellen van de grenzen is inderdaad meestal het moeilijkste bij die meervoudige integralen.

Je eerste voorbeeld: hier kan het helpen om een schets te maken. x²+y²=16 is in het vlak de vergelijking van een cirkel, hier werken we in de ruimte en is het de vergelijking van een cilinder met de z-as als symmetrieas. Als je dan het gebied moet opstellen binnen deze cilinder, kan je idd bv met x beginnen. Voor x-4 en x4 heb je geen enkel punt binnen de cilinder liggen, want dan is x²16 en dan heeft x²+y²=16 geen oplossingen aangezien y² altijd positief is. Voor x tussen -4 en 4 is x²16 en zijn er dus wel y-waarden die voldoen aan x²+y²=16, dus met die x-waarden zijn er wel punten binnen de cilinder. Een andere manier om het te zien, als je een schets hebt gemaakt, is dat de cilinder straal Ö(16)=4 heeft. Dus als je de x-as doorloopt van -¥ tot +¥, kom je pas bij x=-4 de cilinder tegen, en bij x=4 ben je er volledig doorheen.

Tweede voorbeeld: als je met een vlak te maken hebt is het altijd handig om te weten wat de snijpunten met de coördinaatsassen zijn. Stel dus eens x=y=0, je vindt z=4. Zo krijg je drie punten (5,0,0), (0,3,0) en (0,0,4). De ruimte die je nodig hebt ligt dus volledig in het octant waar x, y en z alledrie positief zijn. Dan kies je één coördinaat, bv x. Voor welke x-waarden zijn er punten die in je ruimte liggen? Wel, enkel voor 0x5, dat zie je ook weer makkelijk als je een schets maakt. x die loopt van 0 tot 5 zal dus je buitenste integraal worden. Als volgende variabele kiezen we bijvoorbeeld y. y begint ook bij 0, tot hoe ver kan y lopen, in functie van x? Wel, het vlak heeft vergelijking y=(60-12x-15z)/20. Dat is dus ten hoogste (60-12x)/20 = 3-3x/5, dus dat wordt de y-bovengrens. En dan z, die loopt van 0 tot op het vlak, dus tot op (60-12x-20y)/15=4-4x/5-4y/3.

Derde voorbeeld: voor de inhoud van een lichaam boven de z-as moet je de vergelijking van het bovenste oppervlak (dus hier die z=1-x²-y²) integreren over een bepaald (x,y)-gebied. Dit is dus een dubbelintegraal, je hebt grenzen voor x en y nodig. z=1-x²-y² is een bergparaboloïde met de z-as als as. Je moet het gebied hebben boven z=0, dus kijk eens wat er gebeurt als z=0: dan heb je de cirkel x²+y²=1. Echter, je hebt niet heel dit gebied nodig: je (x,y)-coördinaten moeten ook nog binnen x²+y²-x=0 liggen. Dit is ook de vergelijking van een cirkel: je kan de -x 'binnen het kwadraat' brengen: x²+y²-x=(x-1/2)²+y²-1/4. Dus dit is een cirkel met straal 1/2, en met middelpunt (1/2,0). Deze cirkel ligt volledig binnen de vorige, dus het is over deze cirkel dat je moet integreren. Wil je dat in cartesische coördinaten doen, dan kan dat bv als volgt: x loopt van 0 to 1 (want het middelpunt ligt op x=1/2 en de straal is 1/2. En uit x²+y²-x=0 haal je dat y²=x-x² dus y=±Ö(x-x²). En zo krijg je dat y moet lopen van -Ö(x-x²) tot +Ö(x-x²).

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-8-2007