WisFaq!

Convergentie reeksen met som

Als je een reeks hebt met een som erin, mag je dan deze termen apart ontleden en apart uitwerken om te controleren of een reeks convergent is.

Een voorbeeld:
$\sum$e^1/_n - 1

Als ik $\sum$e^1/_n met d'alembert uitwerk, krijg ik ⁿ⁺¹/_n dus kleiner dan 1 dus convergent

En $\sum$1 is divergent en dus dacht ik dat de som van een convergente reeks en een divergente reeks alleen maar divergent kan zijn. Eigenlijk zo ongeveer:

Divergent + divergent $\Rightarrow$ onbepaald, kan divergent of convergent?
Convergent + convergent $\Rightarrow$ sowieso convergent
Convergent + divergent $\Rightarrow$ divergent?

Graag antwoord

Gabriël
16-8-2007

Antwoord

Je laatste implicaties kloppen, zeker de eerste en dat betekent dat je je reeks als één geheel moet beschouwen. Je kunt ook veel met het majorantie en minorantie doen; in dit geval: e^1/n-11/n en de harmonische reeks convergeert dus de jouwe ook.
Overigens, toepassing van d'Alembert (quotientencriterium) levert exp(1/(n+1)-1/n).

kphart
16-8-2007