WisFaq!

Dubbele integraal met behulp van poolcoördinaten

Hallo,

Als ik $\int{\int{}}$((x²)/(√((x²+y²)³))dxdy beschouw met het gebied D tussen de parabool y²=x en de cirkel x²+y²=2 en ik wil een transformatie doen naar poolcoördinaten dan krijg ik voor de dubbele integraal (na vermenigvuldiging met de jacobiaan van de transformatie) (cos($\theta$))² dr d$\theta$.

Als ik nu herhaalde enkelvoudige integratie wil toepassen hoe moet ik dan mijn gebied opsplitsen en hoe kan ik mijn onder- en bovengrenzen voor $\theta$ en r bepalen?
Ik heb vaak het probleem om de ondergrenzen en de bovengrenzen te bepalen.

Alvast bedankt,

Jeremy Ramaekers

Jeremy Ramaekers
30-7-2007

Antwoord

Hallo Jeremy,

De grenzen van het gebied worden gegeven door de vergelijking van een cirkel en van een parabool. De cirkel in poolcoördinaten omgezet, wordt r²=2. De parabool: y²=x wordt r² sin²$\theta$ = r cos$\theta$, dus r=0 of r=cos$\theta$/sin²$\theta$.

Om nu het gebied te beschrijven kan je nu best eerst een schets maken: de cirkel heeft de oorsprong als middelpunt, de parabool ligt horizontaal (eerste en vierde kwadrant) met de top in de oorsprong.

Het is meestal eenvoudigst om na te gaan welke r-grenzen er horen bij bepaalde $\theta$-waarden. Op je schets zie je dat:
- voor $\pi$/2 $<$ $\theta$ $<$ 3$\pi$/2 zit je nooit in het integratiegebied
- voor $\theta$ dicht bij nul (dus in de buurt van de rechter-x-as) loopt het gebied tot op de cirkel,
- voor andere $\theta$ loopt het gebied slechts tot op de parabool.

Dan moet je natuurlijk exact uitzoeken waar de overgang ligt tussen dit tweede en derde geval, met andere woorden bij welke $\theta$ snijden cirkel en parabool elkaar? Daar geldt dat r²=2 en r²sin²$\theta$=rcos$\theta$. Los op (gebruik cos²+sin²=1), je komt uit op $\theta$=$\pi$/4 of 7$\pi$/4.

Samengevat:
- voor $\theta$ gaande van $\pi$/4 tot $\pi$/2 moet r lopen van 0 tot op de parabool, dus van 0 tot cos$\theta$/sin²$\theta$
- voor $\theta$ gaande van 0 tot $\pi$/4 moet r lopen van 0 tot op de cirkel, dus van 0 tot √2
- voor $\theta$ gaande van 7$\pi$/4 tot 2$\pi$ moet r lopen van 0 tot op de cirkel, dus van 0 tot √2
- voor $\theta$ gaande van 3$\pi$/2 tot 7$\pi$/4 moet r lopen van 0 tot op de parabool, dus van 0 tot cos$\theta$/sin²$\theta$

En vermits het integrandum cos²$\theta$ niet verandert als $\theta$ van teken verandert, zal de bijdrage van het vierde kwadrant (dus derde en vierde stuk hierboven), hetzelfde zijn als de bijdrage uit het eerste kwadrant (eerste en tweede stuk hierboven).

NB het berekenen van het snijpunt van cirkel en parabool kan je natuurlijk ook eerst in cartesische coördinaten doen, je krijgt de punten (1,1) en (1,-1), wat in poolcoördinaten inderdaad r=√2 en $\theta$=±$\pi$/4 geeft.

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-7-2007