WisFaq!

Dubbelintegraal

Ik snap nu het principe een beetje van dubbelintegralen maar er zijn toch nog zaken die ik niet snap,
de oefening is de volgende:
$\int{}$^√$\pi$₀$\int{}$^x₀sin(x²)dydx = $\int{}$₀^√$\pi$sin(x²)dx$\int{}$₀^xdy (dit snap ik) = $\int{}$₀^√$\pi$dy$\int{}$^√$\pi$_ysin(x²)dx=1
die laatste stap snap ik niet meer, de grenzen verandert en er wordt eerst naar x geintegreerd en dan pas naar y...
als ik het op mijn manier zou uitwerken dan bekom ik: $\int{}$₀^√$\pi$xsin(x²)dx=1/2$\int{}$₀^√$\pi$sin(x²)dx²=-1/2·cos($\pi$)=1/2

Cst
30-7-2007

Antwoord

Jouw methode klopt, alleen maak je de fout dat je de ondergrens in de laatste integraal vergeet in te vullen, dus je vergeet cos(0). Vergeet je die niet, dan kom je ook op 1 uit.

De eerste methode is wat raadselachtiger: het omwisselen van de integratievolgorde kan nog wel, om dit in te zien maak je best een figuur: in de eerste dubbelintegraal loopt x van 0 tot √$\pi$ (dus teken de verticale rechten x=0 en x=√$\pi$), en y loopt van 0 tot x (dus teken de horizontale rechte y=0 en de schuine rechte y=x). Het integratiegebied is de driehoek die je nu bekomt.

Die driehoek kan je ook in omgekeerde volgorde beschrijven, dus door y tussen vaste grenzen te laten lopen. Dan zie je dat y loopt van 0 tot √$\pi$, terwijl x loopt vanaf de rechte y=x tot aan x=√$\pi$, dus de x-grenzen zijn inderdaad y en √$\pi$.

Echter, hoe je dan aantoont dat die dubbelintegraal gelijk is aan 1, zie ik niet. De integraal van sin(x²) kan je niet met basisfuncties uitdrukken... Dus ik denk dat jouw methode hier wel aangewezen is. De oefening wil allicht laten zien dat bepaalde dubbelintegralen soms wel kunnen opgelost worden in de ene integratievolgorde, en niet in de andere.

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-7-2007