WisFaq!

DV

beste, ik heb een DV :

y' tanx = -2y sec² x - tanx/(1+cos²x)

mij doet vermoeden dat dit een scalaire DV is y' + y*P(x) = Q(x), door te delen door tan(x), en de y naar de andere kant te brengen.

Hierdoor krijg ik als integrerende factor de integraal van 4/sin2x, door t-formules en substitutie krijg ik ln(t) + t²/2, wat waarschijnlijk geen goede oplossingsmanier is.

heeft iemand anders een idee?

groetjes/winny

winny
19-7-2007

Antwoord

Ik kan je misschien wel een *stukje* op weg helpen, maar het is nog even de vraag of we er helemaal uitkomen...

Het lijkt mij inderdaad een dv van de vorm y'+ p(x).y = q(x)
met p(x)= 2.sec²(x)/tan(x) en q(x)= -1/(1+cos²(x))

De integrerende factor:
I = exp(òp(x)dx)
= exp(2ò{sec²(x)/tan(x)}dx)
= exp(2ò{1/tan(x)}dtan(x))
= exp(ln(tan²x))
= tan²x

de dv wordt op deze manier van de gedaante d(I.y)/dx = I.q(x), dus
d(tan²x.y)/dx = -tan²x/(1+cos²x)

De laatste stap die nu nog rest, is het primitiveren van het rechterlid. Maar dit komt niet echt fraai uit. check zelf maar m.b.v.
http://integrals.wolfram.com

Hij was lekkerder uitgekomen als er in de noemer van het rechterlid geen (1+cos²x) had gestaan, maar alléén maar cos²x.
Zou dat misschien een foutje in de opgave kunnen zijn?

groeten,
martijn

mg
20-7-2007