WisFaq!

Impliciet gedefinieerde functies

mijn vraag is de volgende
in de veronderstelling dat de afgeleide van f 0 ,
krijgen we een functie h (x,y,z) =f(xy+z²)

nu moeten we aantonen dat h in (0,0,0) een lokaar gebonden minimum bereikt onder de randvoorwaarde dat xe^y - ycosx = 0

nu zou ik dit onmiddelijk beginnen oplossen door een hulpfunctie (langriaan) te gebruiken en dit geeft geen moeilijkheden...
Nu wordt er echter in een b vraag expliciet gevraagd om deze oefening op lossen door de randvoorwaarde impliciet te substitueren in onze doelfunctie om zodanig het probleem tot een extremaliseringsprobleem met 2 variabelen ZONDER randvoorwaarde te bekomen...

nu weet ik niet echt hoe ik deze randvoorwaarde impliciet moet substitueren en verder uitwerken :s

zou iemand mij hier kunnen helpen ?
dank bij voorbaat,
Jos

jos
15-6-2007

Antwoord

Dag Jos,

Schrijf je randvoorwaarde als y=g(x). Die functie g kan je niet expliciet bepalen, maar dat is geen probleem.

De functie h(x,y,z)=f(xy+z²) kan je dan schrijven als f(xg(x)+z²). Dit is nu een functie van twee variabelen, noem ze bijvoorbeeld j(x,z).
Dus h(x,y,z)=f(xy+z²)=j(x,z) onder de gegeven randvoorwaarde.

Deze j moet een lokaal minimum hebben. Het is een functie in twee variabelen, bereken dus de partiële afgeleiden.

^¶j/_¶z = 2z f'(xg(x)+z²)
^¶j/_¶x = (xg'(x)+g(x)) f'(xg(x)+z²)
telkens wegens de kettingregel.

Je merkt dat je de afgeleide van g nodig hebt. Om die te berekenen vervang je in je randvoorwaarde nu telkens y door g(x), dit geeft:

xe^(g(x)) - g(x)cosx = 0

Leid dit af naar x en los dat dan op naar g'(x) (dit is het impliciet afleiden waarvan sprake), ik kreeg:

g'(x)=-(e^(g(x))+g(x)sinx)/(xe^(g(x))-cosx)

Merk op dat, als je x=0 invult in je randvoorwaarde, je meteen krijgt dat y=g(0)=0. Dit is logisch, het betekent dat (0,0,0) inderdaad voldoet aan de randvoorwaarde. Je kan dit nu ook gebruiken om g'(0) te berekenen: g'(0)=-(1+0)/(0-1)=1.

Goed, nu moeten we nog aantonen dat (0,0,0) een lokaal minimum is. Kijk daarvoor na dat de partiële afgeleiden zoals daarnet uitgerekend, op nul uitkomen als je x=0, z=0 invult (en met de wetenschap dat g(0)=0). Bereken ook de tweedeordeafgeleiden van j(x,z) (let erop dat je de ketting- en productregel goed toepast). Als je hierin nul invult, en vermits je weet dat g(0)=0 en g'(0)=1, krijg je (enfin, ik toch):
^¶2j/_¶x²(0)=2f'(0)
^¶2j/_¶z²(0)=2f'(0)
^¶2j/_¶x¶z(0)=0.

Vermits gegeven was dat f' positief is, zie je (met behulp van de Hessiaan of welke regel je ook gezien hebt) dat (0,0) hier een lokaal minimum is van j(x,z), en dus geen zadelpunt of maximum.

Als er iets onduidelijk is, reageer je maar...

Groeten,
Christophe.

Christophe
16-6-2007