WisFaq!

Coördinaten voor Drievoudige integratie

Ik wil onder andere het volume berekenen van een figuur met vergelijking x² + y² + z² = 2² (een bol dus met straal 2) en met grenzen z = 0 en z = 1.

Het berekenen zelfs zal wel geen probleem geven, maar ik heb wel wat problemen bij de coördinaten.
Volgens mij zijn de cilindercoördinaten devolgende:
0 = q = 2p
0 = r = Ö(2² - z²)
0 = z = 1

Klopt dit? En wat zijn dat de bolcoördinaten hiervoor wat daar geraak ik niet aan?

Alvast bedankt,
Kevin

Kevin
5-6-2007

Antwoord

Dag Kevin,

Je cilindercoördinaten zijn correct.
Bolcoördinaten zijn lastiger voor dit probleem, omdat het niet in één keer kan. De drie coördinaten zijn nu r (wordt soms ook r genoemd en is de afstand van een punt tot de oorsprong), q (een hoek in het xy-vlak, net als bij cilindercoördinaten), en j (de hoek die gemaakt wordt met de z-as).

q gaat duidelijk volledig rond, dus van 0 tot 2p.
j gaat van 0 tot p/2, want voor elk van die j-waarden zijn er punten aanwezig die je moet meerekenen in je volume.
En dan het lastigste: hoe ver loopt r? Wel, r begint duidelijk altijd bij nul. Maar voor kleine j-waarden (dus steil omhoog) kom je eerst het vlak z=1 tegen, en dan pas de bolrand. Dus moet je integreren tot z=1, vertaald in bolcoördinaten (met z=rcosj) heb je dus r=0 tot 1/cosj.

Echter, voor grotere j-waarden (dus minder steil omhoog) kom je, als je r laat lopen, eerst de bolrand tegen en dan pas het vlak z=1. Dus moet je integreren tot aan de bolrand, dus r loopt van 0 tot 2.

En waar (dus bij welke j) ligt de scheidingslijn tussen deze twee gebieden? Wel, dat is z=rcosj=1 snijdt met r=2, dus bij j=p/3.

Je krijgt dus twee stukken:
r : 0 - 1/cosj
j : 0 - p/3
q : 0 - 2p

en

r : 0 - 2
j : p/3 -p/2
q : 0 - 2p

Reken beide integralen uit (je komt uit op p + 8p/3) (vergeet de jacobiaan r²sinj niet natuurlijk)

Lukt het zo?

Groeten,
Christophe.

Christophe
5-6-2007