WisFaq!

Bepalen van de inverse van een functie

Hallo,
Helaas hebben we bijzonder weinig contacturen met onze docent en zijn we voornamelijk op ons zelf aangewezen, om deze reden stel ik deze vragen ter controle.

1 Bepaal de inverse van de volgende functies:
a) y = 2cos(x/4)
b) y = 4sin(x/3)

Nu heb ik hier natuurlijk zelf ook aan gewerkt en kwam ik tot de volgende uitkomsten:
a)

0 x p

-1 y +1

- x en y omdraaien
x = 2cos(y/4)
- 2 wegwerken
¹/₂x = cos(y/4)
-cosinus wegwerken
arccos(¹/₂x) = arccos(cos(y/4))
- arccos en cos heffen elkaar op
arccos(^x/₂) = y/4
- 4 wegwerken, inverse is dus
4arccos(^x/₂) = y

b)
y = 4sin(x/3)
-¹/₂p x ¹/₂p
-1 y 1
- x en y omdraaien
x = 4sin(y/3)
- 4 wegwerken
^x/₄ = sin(y/3)
- sinus wegwerken
arcsin(^x/₄) = arcsin(sin(y/3))
- heffen elkaar op
arcsin(^x/₄) = y/3
inverse is dus:
3arcsin(^x/₄) = y

Ik hoop dat u mijn redenatie kunt volgen, en natuurlijk ook of u mij kunt vertellen of ik nu op de goede manier doe, en zo niet wat doe ik fout?

Hartelijk bedankt

Sebastian Stuij
4-6-2007

Antwoord

Het grootste gedeelte is okay!
Zo zijn je einduitkomsten y=4arccos(x/2) en y=3arcsin(x/4) wel in orde.

Alleen moet je even goed kijken wat je beweert over domein en bereik.
Bijvoorbeeld de eerste functie: y = 2cos(x/4)
Stel nu eens dat deze functie er eenvoudiger had uitgezien:
y=cos(x)
In dat geval zou er gelden dat 0xp,... of sterker:
0xp.
De 0 en de p 'mogen immers ook meedoen'.
In het geval van y = 2cos(x/4) geldt nu dat 0(x/4)p.
oftewel: 0x4p.
Als x=0 dan is y=2 en als x=4p dan is y=-2. Zodoende is -2y2.
Het domein en bereik van de inverse functie vind je nu eveneens door de x en de y uit te wisselen:
-2x2 en 0y4p.

Probeer dit zelf eens voor de andere functie.

Groeten,

martijn

mg
4-6-2007