WisFaq!

Is een afbeelding lineair?

Elke afbeelding L_A voldoet aan de eigenschappen:
1. .. bewaart de som
2. .. bewaart het product met een coëfficiënt.

De vraag in de cursus is nu om te verifiëren of de gegeven vergelijkingen hieraan voldoen.
Dit is allemaal geen probleem, bijvoorbeeld=
f: ³®: (x,y,z,) |® 5x - 2y + 3z.

Dit is nu wel een eenvoudig voorbeeld.
Maar plots komt hier een heel eigenaardig voorbeeld...
f: ²®³: a + bX + cX² |® c + 2aX + (a+b+c)X³.

Ik heb geen enkel idee, wat hiermee bedoeld wordt en hoe hieraan te beginnen.

Bekaert Dieter
30-5-2007

Antwoord

Wel, voor je eerste eigenschap neem je twee elementen v₁ en v₂ uit je startverzameling, noem die v₁=a₁+b₁X+c₁X² en v₂=a₂+b₂X+c₂X². Kijk dan na of de som van de beelden, gelijk is aan het beeld van de som, dus ga na dat geldt f(v₁+v₂)=f(v₁)+f(v₂).

v₁+v₂
= a₁+b₁X+c₁X²+a₂+b₂X+c₂X²
= (a₁+a₂)+(b₁+b₂)X+(c₁+c₂)X²

dus f(v₁+v₂)=(c₁+c₂)+2(a₁+a₂)X+(a₁+a₂+b₁+b₂+c₁+c₂)X³.

Reken dan ook eens uit wat f(v₁)+f(v₂) is, je zal zien dat het hetzelfde is.

De tweede eigenschap: neem een willekeurig element v uit je startverzameling, en een scalair aÎ, en ga na dat f(av)=af(v). Dan kan je besluiten dat deze afbeelding f lineair is.

Groeten,
Christophe.

Christophe
31-5-2007