WisFaq!

Massa van een kegel

De massieve kegel K wordt beschreven door de ongelijkheden

K: x²+y²(z-5)²

De massadichtheid (massa per volume eenheid) p(x,y,z) in het punt (x,y,z) wordt gegeven door

p(x,y,z) = x²z

Bereken de massa van de kegel K.

Jelle
31-10-2002

Antwoord

Hoi,

Vermoedelijk staat er in je opgave nog een ongelijkheid die z beperkt tot [0,5], anders krijgen ze een oneindig volume.
We begrijpen dus: K is een kegel met grondvlak een cirkel in het XY-vlak met centrum o en straal 5 en als top (0,0,5).

Op een punt u(x,y,z), heb je een geconcentreerde massa dV=p(x,y,z).dxdydz. De massa M van de kegel K is dan de (drievoudige) integraal van p(x,y,z) over K.

M = ò(van x = -5 t/m 5) ò(van y = -sqrt(25-x²) t/m -sqrt(25-x²)) ò(van z = 0 t/m 5-sqrt(x²+y²) van: x²z.dxdydz

Het vervelende is dus dat het interval voor y waarover we integreren afhankelijk is van x en ook het interval voor z. De overgang naar cilindercoördinaten maakt het iets makkelijker.

x=r.cos(phi)
y=r.sin(phi)
z=zeta
Een elementair volume dxdydz in carthesiaanse coördinaten komt overeen met een elementair stukje van een cilinderschil r.dphi.dr.dzeta.

Zodat: M =
ò(van r = 0 t/m 5) ò(van phi = 0 t/m 2*Pi) ò(van zeta = 0 t/m 5-r) van: r.r².cos²(phi). zeta.dphi.dr.dzeta=
ò(van phi = 0 t/m 2*Pi) van cos²(phi)dphi . ò(van r = 0 t/m 5) van [r³ ò(van zeta = 0 t/m 5-r) van zeta.dzeta].dr =
ò(van phi = 0 t/m 2*Pi) van cos²(phi)dphi . ò(van r = 0 t/m 5) van ½.r³ (5-r)²dr =…

Vanaf hier zijn het klassieke enkelvoudige integralen die geen probleem kunnen opleveren.

Groetjes,
Johan

andros
4-11-2002