WisFaq!

Opstellen differentiaalvergelijking

Opgave:

Een kegelvormig vat met hoogte 2m en straal bovenvlak 2m is volledig gevuld met water. Het water stroomt langs onder uit het vat door een cirkelvormig gaatje met diamter 10cm. Na hoeveel tijd zal het vat volledig leeg zijn? (aanwijzing: ste eerst de D.V. op voor y(t), de hoogte van het water in de kegel als functie van de tijd).

Opl:

Als verband tussen de hoogte en het volume fungeerd de formule voor de inhoud van een kegel.

Hierin is de straal gelijk aan de hoogte. Dit ziet men in met gelijkvormige driehoeken.

Nu heb ik het moeilijk om het volume of de hoogte expliciet in functie van de tijd te formuleren. Ik veronderstel dat het iets met de grote van de opening te maken heeft. Ik zou bijvoorbeeld het weggelopen volume kunnen berekenen als de oppervlakte van de opening maal de snelheid waarmee de vloeistof er doorloopt. Ik kan echter niet aan de snelheid geraken.

Kan iemand mij even verder helpen?
Ik heb vooral problemen met het wiskundig formuleren van de opening waardoor de vloeistof wegstroomt.

Alvast dank,
Pieter

Pieter
21-4-2007

Antwoord

Beste Pieter,

Je hebt inderdaad niet voldoende informatie. Het volume dat per seconde wegstroomt is een functie van de oppervlakte van de opening en de waterhoogte. Als je dat eenmaal hebt kun je berekenen hoeveel het volume en dus de hoogte per seconde verandert. Daarmee kun je de gevraagde differentiaalvergelijking opstellen.

Groet. Oscar.

os
21-4-2007