WisFaq!

Complexe MachtsFuncties

ik weet dat deze eigenschap in het complexe vlak niet klopt! MAAR ik kan nergens een juiste verklaring vinden in mijn cursus waarom dit juist niet klopt! weten jullie dit soms?
e2pi/2pi = (e2pi)1/2pi

frederik group
19-4-2007

Antwoord

Beste Frederik,

Zie: Fout in bewijs/eigenschap. Maar het is inderdaad best een ingewikkelde vraag waarom het nu eigenlijk niet mag. Daarvoor moet je eerst kijken naar de manier waarop de machtsfuncties gedefinieerd zijn. Dat gaat analoog aan de reeele machtsfuncties. Maar de uitkomst is niet altijd hetzelfde.

Als de macht geheel is definieer je zⁿ = z·z·...·z (herhaald vermenigvuldigen)

Als de macht een breuk is definieer je eerst z^1/n. Dit is de oplossing van de vergelijking wⁿ = z. Maar! Deze vergelijking heeft n oplossingen. Er is dus geen unieke definitie van z^1/n.

Complexe machten worden bij mijn weten alleen in de exponentiele functie gebruikt. In ieder geval kun je dan z^w alleen definiëren met behulp van de exponentiële functie: z^w = e^log(w)z. De complexe e-macht is op verschillende manieren te definieren. De (complexe) logaritme is de inverse. log(z) = ln(|z|)+iarg(z). Maar ook dit is weer niet uniek. Als arg(z)=$\alpha$ zou het ook $\alpha$+2$\pi$ kunnen zijn. Etc. Immers: e^{($\alpha$+2$\pi$)i} = e^$\alpha$i. Bij het logaritme los je dit op door een bereik van arg() te kiezen. Een voor de hand liggend bereik is [0,2$\pi$$>$, maar ook [-$\pi$,$\pi$$>$ is logisch. Er is dus geen unieke definitie van log(w) en dus ook niet van z^w. Dit fenomeen is zo belangrijk dat het een naam heeft. De plek waar je arg() onderbreekt noem je de 'coupure'.

En nu het gevolg. Met de beide bovengenoemde bereiken vind je log(1)=0 en dus 1^1/(2$\pi$i)=1. Maar b.v. met [$\pi$,3$\pi$$>$ vind je log(1)= 2$\pi$i en dus 1^1/(2$\pi$i) = e^{2$\pi$i/(2$\pi$i)}=e. Maar omdat dit gedaan is met verschillende definities (coupures) van log() mag je hieruit niet constateren 1=e.

Maar wat gaat er nu precies fout bij jouw suggestie? Je schrijft:
(vg$\lambda$₁) e = e^{2$\pi$i/(2$\pi$i)}
(vg$\lambda$₂) e^{2$\pi$i/(2$\pi$i)} = (e^2$\pi$i)^1/(2$\pi$i)
(vg$\lambda$₃) e^2$\pi$i)^1/(2$\pi$i) = 1^(1/(2$\pi$i))
(vg$\lambda$₄) 1^(1/(2$\pi$i))= 1
Welnu. (vg$\lambda$₁) en (vg$\lambda$₃) zijn correct. Maar (vg$\lambda$₂) impliceert dat je voor arg() een bereik kiest waar 2$\pi$ in zit. En dan klopt (vg$\lambda$₄) dus niet. (vg$\lambda$₄) impliceert dat je voor arg() een bereik kiest waar 0 in zit. Maar dan klopt (vg$\lambda$₂) weer niet. De twee sluiten elkaar uit.

Je ziet dus dat je enorm moet oppassen als je complexe machten van complexe getallen neemt. Voor zover ik weet wordt het dan ook nergens toegepast.

Overigens moet je zelfs bij reeele getallen oppassen: ((-1)⁶)^0,5=1^0,5=1 terwijl (-1)³=-1. Ook hier lijkt de stelling a^pq=(a^p)^q niet op te gaan. Bij reeele getallen los je dat op door toe te voegen dat dit alleen geldt voor a$>$0. Maar bij complexe getallen is dat niet zo simpel.

Groet. Oscar

os
20-4-2007