WisFaq!

Speciale techniek/eigenschap

Ik ben op zoek naar het bewijs voor een bepaalde eigenschap om integralen te vereenvoudigen. Het gaat om de volgende eigenschap:
ò^a₀f(x) / ( f(x)+ f(a-x))= a/2

Ik vermoed dat je partieel moet integreren en dan met enkele handigheidjes en het invullen van de grenzen wel de uitkomst bekomt, maar ik kan het juiste handigheidje niet vinden. Partieel integreren met teller en noemer is te ingewikkeld. In zijn geheel partieel integreren opent wel perspectieven:
I = x f(x)/ ( f(x) + f(a-x)) -ò (f(x).f(a-x))'/ (f(x)+ f(a-x))²
(Dit na in de noemer omekeerd toepassen van afgeleide van een product-regel)
Vul je de grenzen in, dan krijg je voor de eerste factor al a, maar wat gedaan met de tweede factor? Of zit ik gewoon op het verkeerde spoor?

Martijn
10-3-2007

Antwoord

Martijn,
Jouw vermoeden is niet juist.Het gaat als volgt:
òf(x)/(f(x)+f(x-a))dx +òf(x-a)/(f(x)+f(x-a))dx=a,x loopt van 0 naar a.Substitueer in de tweede integraal a-x=t en je krijgt de eerste integraal terug en klaar is kees.

kn
10-3-2007