WisFaq!

Convolutie van een rechthoekige verdeling en een normaalverdeling

Ik heb een rechthoekige verdeling van de vorm:

2·a·(1-a·t), 0 t 1/a,

waarbij a positief is.

Verder heb ik een normaalverdeling van de vorm:

1/2·exp(-1/2·(t-mu)²/sigma²)·2^¹/₂/Pi^¹/₂/sigma

Ik bereken de convolutie van deze verdelingen volgens:

int(a·(1-a·tau)·exp(-1/2·(t-tau-mu)²/sigma²)·2^¹/₂/Pi^¹/₂/sigma,tau = 0 .. 1/a)

Met behulp van Maple heb ik deze integraal expliciet uit kunnen rekenen. De formule is echter nogal gecompliceerd. Bovendien wordt gebruik gemaakt van de z.g. error functie
(erf(x), erf(x) = 2/sqrt(Pi) · int(exp(-t²), t=0..x)).

Zoudt U een relatief eenvoudige expressie kunnen geven voor deze integraal?

Ad van der Ven
2-3-2007

Antwoord

Helaas, de functie exp(-t²) heeft geen `elementaire' integraal, dat wil zeggen: geen primitieve die in de bekende functies kan worden uitgedrukt. Dit is in de 19-de eeuw door Liouville bewezen.
Maple's hulpscherm over `erf' zegt daarom niets anders dat dat erf een naam voor een primitieve van die functie is.

Zie Over de stelling van Liouville [http://dutiaw37.twi.tudelft.nl/~kp/publications/talks/20061110-integration-handout.pdf]

kphart
3-3-2007