WisFaq!

Limiet van een functie met 2 veranderlijken

De functie waarover het gaat is:
f(x,y) = ¹/_{1+ln(1+¹/x²+y²}
hiervan moet ik de limiet voor (x,y)®(0,0) bepalen.
ik heb al verschillende paden(paden die door het punt (0,0) gaan) gebruikt, bijvoorbeeld y = k*x maar voor al deze paden convergeert de functie naar 0 als x naar 0 nadert.
dus dacht ik: dit is misschien wel de limiet. Maar dit is geen sluitend bewijs, dus ben ik begonnen aan een epsilon-delta-bewijs. Hierbij heb ik dus al:
"e0,$d0 waarvoor
|f(x,y)-0|e van zodra ||(x,y)-(0,0)||d
dus:
||(x,y)-(0,0)||=Öx²+y²
|¹/_{1+ln(1+¹/x²+y²}| zou moeten kleiner zijn dan e en ik weet dat ik hier zou kunnen aangeraken door te kunnen aantonen dat vorige uitdrukking kleiner is dan Öx²+y², maar hoe ik dat aantoon is me een raadsel, ik heb er al op gezocht maar nog niet echt iets gevonden...misschien kunnen jullie mij helpen?

mvg pieter

Pieter Snoeck
27-2-2007

Antwoord

Dag Pieter,

Een plot maakt duidelijk dat de limiet hoogst waarschijnlijk bestaat en nul is.

Het zal echter niet lukken om de ongelijkheid aan te tonen die je daar vermeldt, want die klopt niet: in een omgeving van (0,0) is je functie altijd groter dan Ö(x²+y²).

Wat wel werkt is een overgang naar poolcoördinaten r en q. Als dan x en y naar nul gaan, gaat zeker ook r=Ö(x²+y²) naar nul. Dus je hebt enkel nog
lim (1/(1+ln(1+1/r²)))
En die kan je oplossen door in te vullen, het resultaat is inderdaad nul.

De truc was dus dat je functie door de axiale symmetrie eigenlijk slechts van één variabele afhangt...

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-2-2007