WisFaq!

Straal Boog berekenen

Hoe moet je de straal uitrekenen van een boog die door 3 punten loopt?

Melvin
20-2-2007

Antwoord

Laten we de punten even coordinaten geven: E=(0,20) D=(40,15) en C=(83,10).
Laten we nu aannemen dat de cirkel door E D en C middelpunt M=(mx,my) heeft en straal r.
De vergelijking van een cirkel met middelpunt (mx,my) en straal r is
(x-mx)²+(y-my)²=r².
E, D en C invullen levert het volgende stelsel:
(0-mx)²+(20-my)²=r² (1)
(40-mx)²+(15-my)²=r² (2)
(83-mx)²+(10-my)²=r². (3).

Uitwerken van (1) en (2) levert:
mx²+400-40my+my²=r² (1a) = mx²+my²-40my+400=r²
1600-80mx+mx²+225-30my+y²=r² (2a) = mx²+my²-80mx-30my+1825=r²
In beide vergelijkingen zit mx² en my² en r².
Als we nu de beide vergelijkingen van elkaar aftrekken houden we over:
80mx-10my-1425=0. (5)

Uitwerken van (3) levert:
6889-166mx+mx²+100-20my+my²=r² (3a) = mx²+my²-166mx-20my+6969=r²
(2a) was mx²+my²-80mx-30my+1825=r²
Aftrekken van deze twee vergelijkingen levert:
-86mx+10my+5144=0 (6)

Optellen van (5) en (6) levert -6mx=3719 dus mx=-3719/6=619¹/₃
Invullen van dit antwoord in (5) levert 80·-3719/6-10my-1425=0;
Dan zou my zijn 5101¹/₆
Als ik tot nu toe geen rekenfouten heb gemaakt zou je nu de coordinaten van het middelpunt moeten kennen.

Tot slot bereken je de afstand van (mx,my) tot een van de drie gegeven punten en dan heb je de straal.

hk
21-2-2007