WisFaq!

Regelmatige vijfhoek

Hey,

Ik moet bewijzen dat de som van de afstanden van een punt binnen een regelmatige vijfhoek tot de 5 zijden constant is en vind een uitdrukking voor die constante in functie van de straal van de omgeschreven cirkel,

Hoe moet ik dit doen?

Alvast bedankt,

Jeroen
14-2-2007

Antwoord

Als P het bedoelde punt is, verbind P dan eens met de eindpunten van een zijde z van de regelmatige vijfhoek. Laten we zijde AB ervoor nemen en noem de afstand van P tot AB bijvoorbeeld d₁.
De oppervlakte van driehoek ABP is nu gelijk aan ¹/₂.z.d₁.
Verbind P vervolgens met hoekpunten B en C en noem de afstand van P tot zijde BC maar d₂. Uiteraard is BC = AB = z
De oppervlakte van driehoek PBC is dan ¹/₂.z.d₂.
Ga nu hiermee door totdat je rond bent.
Je vijfhoek is nu opgesplitst in 5 deeldriehoeken die tezamen een oppervlakte hebben die gelijk is aan de oppervlakte van de vijfhoek.
Zo kom je dus tot ¹/₂.z.(d₁ + d₂ + .....+ d₅) = Opp. en omdat Opp. een vast getal is, is de optelsom van de vijf afstanden ook een vast getal (en gelijk aan 2.Opp/z

Om een R-uitdrukking te vinden voor die optelsom moet je de zijde z uitdrukken in R. Dat moet met wat goniometrie lukken. Probeer het eens.

MBL

MBL
14-2-2007