WisFaq!

Massa op tweedimensionaal gebied

Beste Wisfaq,
Ik kom niet uit de volgende opgave:
---
Het tweedimensionale gebied G wordt gegeven door:
G = {(x,y)€R^2 | x 0 , x^2 y 2-x^2}
We beschouwen op G een massaverdeling met massadichtheid
p(x,y) = yx, (x,y)€G

Bepaal de massa op G die bepaald wordt door de dubbele integraal op p·dx·dy.
---

Het probleem onstaat vanwege de y in de formule voor de massaverdeling. Zonder deze term zou ik de x simpelweg kunnen vermeniguldigen met (2-2x^2) om deze vervolgens te integreren, maar ik weet niet hoe ik dat nu op moet lossen...

Zouden jullie kunnen helpen?

Jelle
21-10-2002

Antwoord

G is dus het gebied ingesloten door y=x², y=2-x² en de y-as

verder is p(x,y) een tweedimensionale gewichtsfunctie, net zoals in het dagelijks leven de dichtheid r van 3 dimensies x,y en z afhangt.
de funcie p is als het ware in kilogram per m²
dus om het totale gewicht M te berekenen, rekenen we de som uit van alle 'bijdragetjes' dm = p(x,y).dx.dy

nou loopt x van 0 (de y-as) tot 1 (het snijpunt van de 2 krommen), en y loopt van de onderste functie y=x² naar de bovenste functie y=2-x².

M= ò (ò p(x,y).dy) .dx = ò (ò yx.dy) .dx
waarbij de binnenste integraal loopt van ondergrens y=x² naar bovengrens y=2-x², en de buitenste integraal van x=0 tot x=1.

De binnenste integraal gaan we dus naar y primitiveren, en daarbij behandelen we x als zijnde een constante:
ò yx.dy = [½y².x]^{2-x^2}_x^2=
½(2-x²)².x - ½(x²)².x =
½(4-4x²+x⁴).x - ½x⁴x =
2x-2x²x+½x⁴x - ½x⁴x =
2x-2x²x =
2x^1/2 - 2x^5/2

Nu dus nog dit resultaat van de binnenste integraal (waarbij we de y 'lekker' zijn kwijtgeraakt) integreren van x=0 tot x=1:
ò 2x^1/2 - 2x^5/2 dx=
[4/3.x^3/2 - ..... ehh

probeer het nu eens zelf weer verder

groeten,
martijn

mg
21-10-2002