WisFaq!

Basis?

Hallo,

ik ben namelijk op zoek wanneer een verzameling een basis is?

Ik dacht dat je determinant nul moet zijn of je verzameling lineair onafhankelijk moet zijn?

Of is je verzameling lineair afhankelijk als je determiant nul is?

Greetzz Rep

Rep
24-1-2007

Antwoord

Beste Rep,

Eerst even zonder matrices: een stel vectoren is een basis voor een ruimte V, als dat stel lineair onafhankelijk en voortbrengend is. Dit laatste betekent dat elk element van V geschreven kan worden als een lineaire combinatie van basisvectoren.

Voorbeeld: we nemen de ruimte ² en de vectoren (1,0) en (0,1). Deze zijn lineair onafhankelijk en elke (a,b) uit ² kan je schrijven als a(1,0)+b(0,1), dus {(1,0),(0,1)} is een basis.
Tegenvoorbeelden: {(1,0),(0,1),(1,1)} is geen basis want niet lineair onafhankelijk en {(3,0)} is geen basis want je kan de elementen (0,b) met b verschillend van 0 niet voortbrengen.

De determinant van een matrix is 0, indien de kolommen (equivalent: de rijen) lineair afhankelijk zijn. Als je dus bijvoorbeeld voor ³ de vectoren (1,2,-1), (3,0,-2) en (4,7,0) gegeven krijgt, dan kan je deze vectoren in een 3x3-matrix steken. Is de determinant 0, dan zijn de vectoren lineair afhankelijk (geen basis), is de determinant niet 0, dan zijn ze lineair onafhankelijk (wel een basis).

mvg,
Tom

td
24-1-2007